Question

17．矩形ABCD中，AB=6，以AB为直径在矩形内作半圆，与DE相切于点E（如图），延长DE交BC于F，若BF=$\sqrt{3}$，则阴影部分的面积为9$\sqrt{3}$-3π．

Answer 1

分析 连接OF、OE、OD，如图，在Rt△OBF中利用三角函数的定义求出∠OFB=60°，再利用切线的性质和切线长定理得到∠OFE=∠OFB=60°，OE⊥DF，所以∠BFE=120°，则∠ADE=60°，同样可得∠ADO=∠EDO=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD=$\sqrt{3}$OA=3$\sqrt{3}$，所以S_△ADO=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$；接着计算出∠AOE=120°，于是得到S_扇形AO=3π，然后利用阴影部分的面积=四边形AOED的面积-扇形AOE的面积进行计算即可．

解答 解：连接OF、OE、OD，如图，
在Rt△OBF中，∵tan∠OFB=$\frac{OB}{BF}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OFB=60°，
∵BF⊥AB，
∴BF为切线，
∵DF为切线，
∴∠OFE=∠OFB=60°，OE⊥DF，
∴∠BFE=120°，
∵BC∥AD，
∴∠ADE=60°，
∵AD⊥AB，
∴AD为切线，
而DE为切线，
∴∠ADO=∠EDO=30°，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{3}$OA=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ADO=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$；
∵∠AOE=180°-∠ADE=120°，
∴S_扇形AOE=$\frac{120•π•{3}^{2}}{360}$=3π，
∴阴影部分的面积=四边形AOED的面积-扇形AOE的面积=2×$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-3π=9$\sqrt{3}$-3π．
故答案为9$\sqrt{3}$-3π．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．