Question

6．如图，已知点C为线段AB的中点，以BC为边作△DBC，使DC=DB，连接AD，过点C作CE⊥AB交AD于点E，连接BE交CD于点M．
（1）若∠A=45°，∠CDA=30°，AC=2，求BD的长；
（2）求证：BM=3EM．

Answer 1

分析 （1）作等腰三角形的高线DF，先由三线合一的性质得：CF=BF=1，再由垂直和∠A=45°，得△ECA和△AFD是等腰直角三角形，则DF=3，根据勾股定理求BD的长；
（2）作辅助线，构建平行四边形，根据平行四边形的性质：对角线互相平分和直角三角形斜边上的中线可得结论．

解答 解：（1）如图1，过D作DF⊥AB于F，
∵DC=DB，
∴CF=BF=$\frac{1}{2}$BC，
∵C是AB的中点，AC=2，
∴BC=AC=2，
∴CF=BF=1，
∵CE⊥AB
∴∠ECA=90°，
∵∠A=45°，
∴△ECA和△AFD是等腰直角三角形，
∴EC=AC=2，AF=DF=2+1=3，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（2）如图2，取BE的中点G，连接CG、DG，延长DG交AB于F，
在Rt△ECB中，CG=BG=EG=$\frac{1}{2}BE$，
在△DCG和△DBG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{DG=DG}\\{CG=BG}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△DBG（SSS），
∴∠CDF=∠BDF，
∴DF⊥BC，
∵EC⊥BC，
∴EC∥DG，
∵C是AB的中点，G是BE的中点，
∴CG是△AEB的中位线，
∴CG∥AD，
∴四边形ECGD是平行四边形，
∴EM=MG，
∴BM=3EM．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质以及等腰直角三角形的性质和判定，属于基础题，注意第一问中的结论第二问不能直接运用，第二问作辅助线构建平行四边形是关键．