Question

7．如图，正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，BF与AC交于点P．
（1）求证：四边形ABCF是菱形；
（2）求证：AC²+BF²=4AB²；
（3）若AB=2，求△CDF的周长．

Answer 1

分析 （1）根据正多边形的内角和定理求出内角的度数，根据菱形的判定定理证明；
（2）根据菱形的对角线互相垂直、勾股定理证明；
（3）根据正五边形的性质、黄金分割的概念计算即可．

解答 （1）证明：正五边形的内角的度数为：$\frac{（n-2）×180°}{5}$=108°，
∵DE=DC，
∴∠DEC=36°，
∴∠AEC=72°，
∴∠BAE+∠AEC=180°，
∴AB∥CF，
同理，BC∥AF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∵BA=BC，
∴四边形ABCF是菱形；
（2）证明：四边形ABCF是菱形，
∴AC⊥BF，
由勾股定理得PB²+PC²=BC²，
∴AC²+BF²=（2PC）²+（2PB）²=4PC²+4PB²=4BC²，
∴AC²+BF²=4AB²；
（3）解：∵四边形ABCF是菱形，
∴CF=AF，
∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，
即△CDF的周长等于AD+CD，
∵在正五边形ABCDE中，
∴CD²=DF•DA，即AD•（AD-2）=4，
整理得，AD²-2AD-4=0，
解得，AD=$\sqrt{5}$+1，
∴△CDF的周长等于$\sqrt{5}$+3．

点评 本题考查的是正多边形与圆，掌握正多边形的性质、黄金分割的概念、勾股定理的应用是解题的关键．