Question

17．已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）若OP∥BC，且OP=8，∠C=60°，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠C，推出∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）证△ABC≌△PBO（ASA），进而得出⊙O的半径．

解答 （1）证明：连接OB，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠C，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA=∠OBC，
即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，
∴OB⊥PB，
∵OB为半径，
∴PB是⊙O的切线；

（2）解：∵OC=OB，∠C=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴BC=OB，
∵OP∥BC，
∴∠CBO=∠POB，
∴∠C=∠POB，
在△ABC和△PBO中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠POB}\\{BC=OB}\\{∠ABC=∠OBP}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△PBO（ASA），
∴AC=OP=8，
即⊙O的半径为4．

点评 本题考查了等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、切线的判定等知识点的应用，正确得出△ABC≌△PBO（ASA）是解题关键．