Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=$\sqrt{3}$cm，若AO=xcm，⊙O的半径为1cm，请问：当x在什么范围内取值时，AC与⊙O相交、相切、相离？

Answer 1

分析 由AC=3，BC=$\sqrt{3}$，可求出∠A的大小，根据含30°直角三角形的性质即可得到OD和AO的关系．
（1）若圆O与AC相离，则有OD大于r，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围；
（2）若圆O与AC相切，则有OD=r，求出x的值即可；
（3）若圆O与AC相交，则有OD小于r，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．

解答 解：作OD⊥AC，
∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵AO=x，
∴OD=$\frac{1}{2}$x．
（1）若圆O与AC相离，则有OD大于r，即$\frac{1}{2}$x＞1，解得：x＞2；
（2）若圆O与AC相切，则有OD等于r，即$\frac{1}{2}$x=1，解得：x=2；
（3）若圆O与AC相交，则有OD小于r，即$\frac{1}{2}$x＜1，解得：0＜x＜2；
综上可知：当x＞2时，AC与⊙O相离；x=2时，AC与⊙O相切；0＜x＜2时，AC与⊙O相交．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断．