Question

如图：已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10．
（1）求证：AC=CD；     
（2）求⊙O的面积．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：（1）连结OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，则∠OCD=90°，所以∠ACO=∠ACD-∠OCD=30°，则∠A=∠ACO=30°，接着利用三角形内角和定理计算出∠D=30°，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到AC=CD；
（2）在Rt△OCD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OD=2OC，则OB+10=2OB，解得OB=10，然后根据圆的面积公式求解．

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠ACD=120°，
∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=30°，
而OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵∠D=180°-∠ACD-∠A=30°，
∴∠A=∠D，
∴AC=CD；
（2）解：在Rt△OCD中，∵∠D=30°，
∴OD=2OC，
而OC=OB，
∴OB+10=2OB，解得OB=10，
∴⊙O的面积=π•10²=100π．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．