Question

12．如果，正方形ABCD的边长为2cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ=AE，则PD等于（　　）

• A． $\frac{2}{3}$cm或$\frac{2}{3}\sqrt{3}$cm
• B． $\frac{2}{3}\sqrt{3}$cm
• C． $\frac{4}{3}$cm或$\frac{2}{3}\sqrt{3}$cm
• D． $\frac{2}{3}$cm或$\frac{4}{3}$cm

Answer 1

分析 根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，进而得出DP的长．

解答 解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=2cm，
∴tan30°=$\frac{DE}{AD}$，即DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm，
根据勾股定理得：AE=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$cm，
∵M为AE的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=PN}\\{AE=PQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=$\frac{AM}{AP}$，
∴AP=$\frac{AM}{cos30°}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{3}$cm，
所以PD=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$．
故选D．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．