Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，BC=6，AC=8，则AD=

 

．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：过点D作DE⊥AB于E，先由角平分线的性质得出DE=CD．在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB=

BC2+AC2

=10，再根据HL证明Rt△BDE≌Rt△BDC，得到BE=BC=6，则AE=AB-BE=4．然后设DE=CD=x，在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程（8-x）²=4²+x²，解方程求出x的值，进而得到AD的长度．

解答：解：如图，过点D作DE⊥AB于E，则DE=CD．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=

BC2+AC2

=10．
在Rt△BDE与Rt△BDC中，

BD=BD DE=DC

，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），
∴BE=BC=6，
∴AE=AB-BE=4．
设DE=CD=x，则AD=8-x．
在Rt△ADE中，∵∠AED=90°，
∴AD²=AE²+DE²，
∴（8-x）²=4²+x²，
解得x=3，
∴AD=8-3=5．
故答案为5．

点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，难度适中．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．