Question

如图，在梯形ABCD中，BC=15，AD=21，点P、Q、M、N分别从点A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在梯形的边上同时运动，当一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动全部停止．已知在相同时间内，若BQ=x（x≠0），则AP=CM=2x，DN=5x．
（1）要使点Q与点M重合，需x=

 

，此时DN=5x=

 

，由此可知点Q与点M可能重合吗？

 

（填“可能”或“不可能”）
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）若梯形ABCD是等腰梯形，在（2）中的平行四边形是矩形吗？若你认为是，那么x又为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是矩形？并给予证明；如果认为不是，说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）假设Q与M重合，则有BQ+CM=BC，即x+2x=15，求出x的值，确定出DN的值，与BC比较大小即可做出判断；
（2）由（1）得到Q只能在M左侧，根据P与N的位置分两种情况考虑：当P在N左侧与右侧时，分别求出x的值即可；
（3）若梯形ABCD是等腰梯形，在（2）中的平行四边形不能是矩形，理由为：过B作BE垂直于AD，分两种情况判断QP与PN，MP与PN不可能垂直即可．

解答：解：（1）根据题意得：x+2x=15，
解得：x=5，
此时DN=5x=25＞AD=12，由此可知点Q与点M不可能重合；
故答案为：5；25；不可能；

（2）由（1）可知，点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，如图1所示，由QM=PN得到15-（x+2x）=21-（2x+5x），
解得：x=1.5，
当x=1.5时，四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，如图2所示，由QM=NP得到15-（x+2x）=（2x+5x）-21，
解得：x=3.6，
当x=3.6时，四边形PMQN为顶点的四边形是平行四边形，
综上，当x为1.5或3.6时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P、Q、M、N为顶点的四边形不是矩形，理由为：
过点B作BE⊥AD于点E，如图所示，
当x=1.5时，四边形PQMN是平行四边形，
此时AP=2x=3，BQ=1.5，AE=3，
∴点P与点E重合，即PQ与PN不垂直，
∴平行四边形PQMN不是矩形；
当x=3.6时，四边形PMQN是平行四边形，
此时AP=2x=7.2，AE=3，PE=4.2；CM=2x=7.2，BM=15-7.2=7.8； 
得到BM≠PE；
∴四边形BEPM不是矩形，即MP与PN不垂直．
∴平行四边形PMQN不是矩形，
综上可得，以P、Q、M、N为顶点的四边形不是矩形．

点评：此题属于四边形综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，矩形的判定，一元一次方程的应用，利用了分类讨论的思想，弄清题意是解本题的关键．