Question

18．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为$\widehat{AC}$的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（　　）

• A． $\sqrt{5}$或2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$或2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$或2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{6}$或2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过B作直径，连接AC交AO于E，①如图①，根据已知条件得到BD=$\frac{1}{3}$×2×3=2，如图②，BD=$\frac{2}{3}$×2×3=4，求得OD=1，OE=2，DE=1，连接OD，根据勾股定理得到结论，

解答 解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为$\widehat{AC}$的中点，
∴BD⊥AC，
①如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD=$\frac{1}{3}$×2×3=2，
∴OD=OB-BD=1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=1，
∴OE=2，
连接OD，
∵CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴边CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{6}$；
如图②，BD=$\frac{2}{3}$×2×3=4，
同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，
连接OD，
∵CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
∴边CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
故选D．

点评 本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．