Question

4．如图，射线AB∥射线CD，∠CAB与∠ACD的平分线交于点E，AC=4，点P是射线AB上的一动点，连结PE并延长交射线CD于点Q．给出下列结论：①△ACE是直角三角形；②S_{四边形APQC}=2S_△ACE；③设AP=x，CQ=y，则y关于x的函数表达式是y=-x+4（0≤x≤4），其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②
• C． ①③
• D． ②③

Answer 1

分析 ①正确．由AB∥CD，推出∠BAC+∠DCA=180°，由∠ACE=$\frac{1}{2}$∠DCA，∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，即可推出∠ACE+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠DCA+∠BAC）=90°，延长即可解决问题．
②正确．首先证明AC=AK，再证明△QCE≌△PKE，即可解决问题．
③正确．只要证明AP+CQ=AC即可解决问题．

解答 解：如图延长CE交AB于K．
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°，
∵∠ACE=$\frac{1}{2}$∠DCA，∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ACE+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠DCA+∠BAC）=90°，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥CK，△AEC是直角三角形，故①正确，
∵∠QCK=∠AKC=∠ACK，
∴AC=AK，
∵AE⊥CK，
∴CE=EK，
在△QCE和△PKE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QCE=∠PKE}\\{EC=EK}\\{∠CEQ=∠PEK}\end{array}\right.$，
∴△QCE≌△PKE，
∴CQ=PK，S_△QCE=S_△PEK，
∴S_{四边形APQC}=S_△ACK=2S_△ACE，故②正确，
∵AP=x，CQ=y，AC=4，
∴AP+CQ=AP+PK=AK=AC，
∴x+y=4，
∴y=-x+4（0≤x≤4），故③正确，
故选A．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．