Question

19．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=Rt∠，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，且∠APD=Rt∠，连结BD
（1）求证：$\frac{AC}{AP}$=$\frac{AB}{AD}$；
（2）在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势．
（3）己知AB=$\sqrt{2}$，设CP=x，S_△PBD=S．
①试求S关于x的函数表达式．
②当S=$\frac{3}{8}$时，求△BPD的外接圆半径．

Answer 1

分析 （1）设AD与PB交于点K．由△AKB∽△PKD，推出△AKP∽△BKD，推出∠ADB=∠APK，∠PAK=∠DBK=45°，推出∠ABD=∠∠DBK=90°，推出∠ABD=∠ACP，由∠ADB=∠APC，推出△ABD∽△ACP，即可解决问题．
（2）结论：∠PBD的度数是定值，∠PBD=45°．由（1）可知△AKP∽△BKD，即可推出PAK=∠DBK=45°．
（3）①在Rt△ABC中，由AB=$\sqrt{2}$，推出BC=AC=1，在Rt△ACP中，PA=$\sqrt{A{C}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，由△ABD∽△ACP，推出$\frac{AC}{AB}$=$\frac{PC}{BD}$，推出$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{x}{BD}$，可得BD=$\sqrt{2}$x，
根据S=S_△ABD+S_△APD-S_△ABP计算即可．②取AD的中点O，连接OB、OP．由∠ABD=∠APD=90°，推出OB=OA=OP=OD，推出点O是△PBD的外接圆的圆心，求出线段AD即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，设AD与PB交于点K．
∵CA=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵PA=PD，∠APD=90°，
∴∠PDK=∠PAD=∠ABK=45°，∵∠AKB=∠DKP，
∴△AKB∽△PKD，
∴$\frac{AK}{PK}$=$\frac{BK}{DK}$，
∴$\frac{AK}{KB}$=$\frac{PK}{DK}$，∵∠AKP=∠BKD，
∴△AKP∽△BKD，
∴∠ADB=∠APK，∠PAK=∠DBK=45°，
∴∠ABD=∠∠DBK=90°，
∴∠ABD=∠ACP，∵∠ADB=∠APC，
∴△ABD∽△ACP，
∴$\frac{AC}{AP}$=$\frac{AB}{AD}$；

（2）解：结论：∠PBD的度数是定值，∠PBD=45°．
理由：由（1）可知△AKP∽△BKD，
∴PAK=∠DBK=45°，
∴在点P运动过程中，∠PBD的度数是定值，∠PBD=45°

（3）解：①在Rt△ABC中，∵AB=$\sqrt{2}$，
∴BC=AC=1，
在Rt△ACP中，PA=$\sqrt{A{C}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，
∵△ABD∽△ACP，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{PC}{BD}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{x}{BD}$，
∴BD=$\sqrt{2}$x，
∴S=S_△ABD+S_△APD-S_△ABP=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$x-$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+{x}^{2}}$•$\sqrt{1+{x}^{2}}$-$\frac{1}{2}$（1+x）•1=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x．

②取AD的中点O，连接OB、OP．
∵∠ABD=∠APD=90°，
∴OB=OA=OP=OD，
∴点O是△PBD的外接圆的圆心，
∵S=$\frac{3}{8}$，
∴$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{8}$，
解得x=$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{2}$（舍弃），
∴PC=$\frac{1}{2}$，
由（2）可知BD=$\sqrt{2}$x，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴△PBD的外接圆的半径为$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求三角形面积，学会其中外接圆的圆心的方法，属于中考压轴题．