Question

14．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，AF⊥CF，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求证：CA平分∠ECF；
（3）请指出CE与AF有怎样的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等，即可证明．
（2）想办法证明∠ACB=∠ACE=45°即可解决问题．
（3）结论：CE=2AF．过点A作AG⊥CG，垂足为点G．先证明AF=AG，再证明CE=2AG即可．

解答 （1）证明：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAC=∠DAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．

（2）证明：∵∠CAE=90°，AC=AE
∴∠ACE=∠AEC=45°
∵△ABC≌△ADE
∴∠ACB=∠AEC=45°
∴∠ACB=∠ACE
∴AC平分∠ECF                   

（3）解：结论：CE=2AF．
理由：过点A作AG⊥CG，垂足为点G
∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，AG⊥CG，
∴AF=AG，
又∵AC=AE，AG⊥CG，
∴∠CAG=∠EAG=45°，
∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，
∴CG=AG=GE，
∴CE=2AG，
∴CE=2AF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．