Question

20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为边作等边△ADC．
（1）用尺规作图作出∠ADC的角平分线DM，交AC于F，交AB于E，连接CE．（保留作图痕迹）
（2）求证：AE=CE=BE
（3）若AB=15cm，P是射线DM上一点，当点P在何处时，PB+PC的值最小？请直接写出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）利用尺规作∠ADC的平分线DM，交AC于F，交AB于E．
（2）首先证明DM垂直平分线段AC，推出AE=CE，推出∠EAC=∠ECA，由∠EAC+∠ABC=90°，∠ECA+∠ECB=90°，推出∠ABC=∠ECB，推出CE=CB，即可证明．
（3）当点P在点E处时，PB+PC的值最小，最小值就是线段AB的长．

解答 解：（1）∠ADC的角平分线DM，交AC于F，交AB于E，连接CE，如图所示，


（2）证明：
∵△ACD是等边三角形，DM平分∠ADC，
∴DA=DC，
∴DM垂直平分线段AC，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠ACD=90°
∴∠EAC+∠ABC=90°，
∠ECA+∠ECB=90°，
∴∠ABC=∠ECB，
∴CE=CB，
∴AE=CE=CB．

（3）答：当点P在点E处时，PB+PC的值最小，
PB+PC的最小值=EC+EB=AE+EB=AB=15cm．

点评 本题考查作图-复杂作图、等边三角形的性质、轴对称、最短问题、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握基本作图的步骤，学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．