Question

2．如图，已知点A（4，0），以A为圆心作⊙A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，12），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点．求DE的长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可知抛物线的对称轴为x=8，然后设出抛物线的顶点式，然后将C点坐标和点A的坐标代入求解即可；
（2）由于DE是⊙A的切线，连接AE，那么根据切线的性质知AE⊥DE，在Rt△AED中，AE、AB是圆的半径，即AE=OA=AB=4，而A、D关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=4，由此可得到AD的长，进而可利用勾股定理求得切线DE的长；
（3）若△BFD与EAD△相似，则有两种情况需要考虑：①△AED∽△BFD，②△AED∽△FBD，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF的长．

解答 解：（1）∵A（4，0），⊙A与y轴切于原点，
∴⊙A的半径为4．
∴点B的坐标为为（8，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-8）²+k；
∵抛物线经过点A（4，0）和C（0，12），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+k=0}\\{64a+k=12}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{4}$，k=-4．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-8）²-4．
（2）如图1所示：连接AE．

∵DE是⊙A的切线，
∴∠AED=90°，AE=4，
∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，
∴AB=BD=4，
∴AD=8；
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=8²-4²=48，
∴DE=4$\sqrt{3}$．
（3）如图2所示：当FB⊥AD时，连结AE．

∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，
∴△AED∽△FBD，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{DE}{BD}$即$\frac{4}{BF}=\frac{4\sqrt{3}}{4}$．
解得：BF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
如图3所示：当BF⊥ED时，连结AE、过点B作BF⊥DE，垂足为F．

∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△AED∽△BFD，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AD}{BD}$即$\frac{4}{BF}$=$\frac{8}{4}$．
∴BF=2．
综上所述，BF的长为2或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题主要考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、二次函数的对称性、勾股定理以及相似三角形的性质等重要知识，当相似三角形的对应边和对应角不明确的情况下，分类讨论是解题的关键．