Question

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1）c=2$\sqrt{3}$，b=3；
（2）∠A=45°，b=$\sqrt{2}$；
（3）tanA=$\frac{3}{4}$，c=20．
（参考：tan36°≈0.75，sin36.9°≈0.6）

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理列式求出c，再根据∠B的正弦函数值求出∠B，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠A；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠B，利用∠A的正切、正弦列式求出a，c；
（3）根据∠A的正切值求出∠A，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，设a=3k，b=4k，根据勾股定理求得k，进而得到a、b．

解答 解：（1）由勾股定理得，a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵sinB=$\frac{b}{c}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°，

（2）∵∠A=45°，
∴∠B=90°-∠A=45°，
∵tanA=$\frac{a}{b}$=1，
∴a=b=$\sqrt{2}$，
∴c=a÷sinA=$\sqrt{2}$÷$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2；

（3）∵tanA=$\frac{3}{4}$，
∴∠A=36°，
∴∠B=54°，
设a=3k，b=4k，
则（3k）²+（4k）²=20²，
解得k=±4（负值舍去），
a=3k=3×4=12，
b=4k=4×4=16．

点评 本题考查了解直角三角形，主要利用了锐角三角函数和勾股定理解决问题．