题目内容
【题目】在△ABC 中，AC=BC，点 E 在是 AB 边上一动点（不与 A、B 重合），连接 CE，点 P 是直线 CE 上一个动点．
（1）如图 1，∠ACB=120°，AB=16，E 是 AB 中点，EM=2，N 是射线 CB 上一个动点， 若使得 NP+MP 的值最小，应如何确定 M 点和点 N 的位置？请你在图 2 中画出点 M 和点 N 的位置，并简述画法： 直接写出 NP+MP 的最小值
（2）如图 3，∠ACB=90°，连接 BP， BPC=75°且 BC=BP．求证：PC=PA．
【答案】（1）作图见解析；最小值为5；（2）证明见解析
【解析】
（1）画法：作点M关于EC的对称点
，过作N⊥BC交EC于点P，交BC于点N ，根据作图直接写出NP+MP 的最小值即可；
（2）过P作PF⊥BC于点F，PD⊥AC交EC于点D，先证明△BFC≌△DPC，可得PF＝CD，再根据特殊三角函数值得PB＝2PF，再根据BC=BP，AC=BC，可得AC＝2CD ，再根据PD⊥AC，即可证明PC＝PA．
（1）画法：作点M关于EC的对称点，过作N⊥BC交EC于点P，
交BC于点N
∵AB=16，E 是 AB 中点
∴
∵
，点是M关于EC的对称点
∴
∴
∵
，
∴
∵过作N⊥BC交EC于点P
∴
∴在
中
故最小值为5
（2）过P作PF⊥BC于点F，PD⊥AC交EC于点D，
∵∠CPF＝∠PCD＝15°，
∠PFC＝∠PDC＝90°．
∴△BFC≌△DPC．
∴PF＝CD ．
∵∠PFB＝90°，∠PBF＝30°
∴PB＝2PF．
∵BC=BP，AC=BC
∴BP= AC
∴AC＝2CD
∵PD⊥AC
∴PC＝PA
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