Question

2．已知，抛物线y=mx²-2mx-2（m≠0）与y轴交于A点，该抛物线对称轴与x轴交于点B，
（1）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；
（2）在坐标系中，若该抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标；求出点A关于对称轴的对称点（2，-2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式．

解答 解：（1）当x=0时y=-2
所以A（0，-2）
抛物线对称轴为x=1，
所以B（1，0），
易得A点关于对称轴的对称点为A′（2，-2），
则直线经过A，B，
设直线的解析式为y=kx+b，
联立2k+b=-2与 k+b=0，
解得k=-2，b=2，
所以直线的解析式为y=-x+2；                             

（2）因为抛物线对称轴为x=1
所以抛物线在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一关于对称轴对称．
可观察到抛物线在-2＜x＜-1这一段在直线的上方，在-1＜x＜0这一段在直线的下方，
所以抛物线与直线的交点的横坐标为-1，
当x=-1时y=-2×（-1）+2=4，
则抛物线过点（-1，4），
当x=-1时，m+2m-2=4，m=2，
所以抛物线解析式为y=2x²-4x-2．

点评 本题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（-1，4）是解题的关键．