Question

7．某公园要在菱形场地ABCD内划出一个矩形活动场地EFGH，要求矩形的四个顶点E、F、G、H分别在菱形场地的四条边上，且BE=BF=DG=DH菱形的周长为4am，∠ADC=120°．
（I）如图，设BE=xm，请直接写出矩形EFGH的周长Cm与x之间的函数关系式．并写出自变量的取值范围；
（2）设矩形的面积为sm²，当BE为多少时，划出的矩形面积最大？请求出最大面积；
（3）若设计部门从实际需要出发，只需要矩形的面积为$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{8}$m²就满足需要．能否获得需要的面积？若能，说明理由；若不能．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得△AHE是等边三角形，即HE=（1-x）米，过点P作DP⊥HG于点P，则HG=2HP=2DHsin∠HDP=$\sqrt{3}$x米，由矩形周长公式可得；
（2）根据矩形的面积公式即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=a米，
∵BE=BF=DH=DG=x米，
∵∠ADC=120°，∴∠A=60°，
∴AE=AH=（a-x）米，∠ADC=120°，
∴△AHE是等边三角形，即HE=（a-x）米，
如图，过点P作DP⊥HG于点P，

∴HG=2HP，∠HDP=$\frac{1}{2}$∠ADC=60°，
则HG=2HP=2DHsin∠HDP=2x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$x米，
∴C=2（a-x+$\sqrt{3}$x）=（2$\sqrt{3}$-2）x+2a，（0＜x＜4）；
（2）∵HE=（a-x）米，HG=$\sqrt{3}$x米，
∴S=$\sqrt{3}$x（a-x）=-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$ax，（0＜x＜4），
当x=-$\frac{\sqrt{3}}{2（-\sqrt{3}）}$a=$\frac{1}{2}$a时，
S_最大=$\frac{-（\sqrt{3}a）^{2}}{4（-\sqrt{3}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²；
（3）当矩形的面积为$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{8}$m²，
即-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$ax=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{8}$，
解得：x₁=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$a，x₂=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$a，
∴当BE=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$a，或$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$am时，能获得需要的面积．

点评 题主要考查二次函数的实际应用，根据菱形的性质及等腰三角形性质、三角函数表示出矩形的长宽是求得函数解析式的前提，熟练掌握二次函数的性质是求函数最值的关键．