如图1.点A是直线HD上一点.C是直线GE上一点.B是直线HD.GE之间的一点.∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°(1)求证:AD∥CE,(2)如图2.作∠BCF=∠BCG.CF与∠BAH的平分线交于点F.若2∠B-∠F=90°.求∠BAH的度数,的条件下.若点P是AB上一点.Q是GE上任一点.QR平分∠PQG.PM∥QR.PN平分∠APQ.下列结论:①∠APQ+∠NPM的值不变,②∠NPM的度数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若2∠B-∠F=90°，求∠BAH的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是AB上一点，Q是GE上任一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，下列结论：①∠APQ+∠NPM的值不变；②∠NPM的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出正确的结论并求其值．

分析（1）如图1，过B作BH∥AD，根据平行线的性质得到∠DAB+∠1=180°，由已知条件得到∠+∠BCE=180°，根据平行线的判定得到BH∥CE，由平行公理的推论即可得到结论；
（2）首先设∠BAF=x°，∠BCF=y°，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，根据平行线的性质，可得∠AFC=（x+2y）°，∠ABC=（2x+y）°，又由2∠B-∠F=90°，可得方程：90-（x+2y）=180-2（2x+y），继而求得答案．
（3）根据两直线平行，内错角相等可得∠MPQ=∠PQR=$\frac{1}{2}$∠PQG，然后根据∠APQ=∠PAH+∠PQG，列式表示出∠NPM=$\frac{1}{2}$∠APQ-$\frac{1}{2}$∠PQG=$\frac{1}{2}$（∠APQ-∠PQG）=$\frac{1}{2}$∠PAH=30°，从而判定②正确．

解答（1）证明：如图1，过B作BM∥AD，
∴∠DAB+∠1=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴∠2+∠BCE=180°，
∴BM∥CE，
∴AD∥CE；

（2）解：设∠BAF=x°，∠BCF=y°，
∵∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，
∴∠HAF=∠BAF=x°，∠BCG=∠BCF=y°，∠BAH=2x°，∠GCF=2y°，
如图2，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥FN∥BM∥CE，
∴∠AFN=∠HAF=x°，∠CFN=∠GCF=2y°，∠ABM=∠BAH=2x°，∠CBM=∠GCB=y°，
∴∠AFC=（x+2y）°，∠ABC=（2x+y）°，
∵2∠B-∠F=90°，
∴90-（x+2y）=180-2（2x+y），
解得：x=30，
∴∠BAH=60°．

（3）如图3，
由（1）可知∠APQ=∠PAH+∠PQG，
∴∠PAH=∠APQ-∠PQG，
∵QR平分∠PQR，PM∥QR，
∴∠MPQ=∠PQR=$\frac{1}{2}$∠PQG，
∵PN平分∠APQ，
∴∠NPM=$\frac{1}{2}$∠APQ-$\frac{1}{2}$∠PQG=$\frac{1}{2}$（∠APQ-∠PQG）=$\frac{1}{2}$∠PAH，
∵点P是AB上一点，
∴∠PAH=60°，
∴∠NPM=30°；
∴①∠APQ+∠NPM的值随∠DGP的变化而变化；②∠NPM的度数为30°不变．