Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，将△ABC放在平面直角坐标系中，使得直角顶点C与坐标原点O重合，此时顶点A恰好在双曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上，顶点B恰好在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）上，则k的值为1．

Answer 1

分析 过A作AE⊥x轴于E过B作BF⊥x轴于F，通过△AOE∽△BOF，得到$\frac{AE}{OF}=\frac{OE}{BF}=\frac{AO}{BO}$，设A（m，$\frac{3}{m}$），于是得到AE=$\frac{3}{m}$，OE=m，从而得到B（-$\frac{\sqrt{3}}{m}$，$\frac{\sqrt{3}m}{3}$），于是求得结果．

解答 解：过A作AE⊥x轴于E过B作BF⊥x轴于F，
∵∠AOC=90°∠A=30°，
∴∠OAE+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，
∴△AOE∽△BOF，
∴$\frac{AE}{OF}=\frac{OE}{BF}=\frac{AO}{BO}$，
设A（m，$\frac{3}{m}$），
∴AE=$\frac{3}{m}$，OE=m，
∵$\frac{AO}{OB}=\sqrt{3}$，
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{m}$，OE=$\frac{\sqrt{3}m}{3}$，
∴B（-$\frac{\sqrt{3}}{m}$，$\frac{\sqrt{3}m}{3}$），
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{m}$$•\frac{\sqrt{3}m}{3}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角函数，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．