Question

3．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E是线段OC的中点，DE的延长线交BC边于点F，连接并延长FO交AD于点G．若AB=2，则GF=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

Answer 1

分析 过点O作OH⊥BC，于点H，因为E是线段OC的中点，所以根据正方形的性质可得CF：AD=1：3，进而可求出CF的长，由正方形的性质可知△BOC是等腰直角三角形，所以BH=CH=1，进而可求出HF的长，再利用勾股定理可求出OF的长，继而求出GF的长．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AO=CO=BO=DO，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∴△ADE∽△CFE，
∵E是线段OC的中点，
∴CE：AE=CF：AD=1：3，
∵AB=2，
∴CF=$\frac{2}{3}$，
过点O作OH⊥BC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴HF=1-FC=$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∵OH=$\frac{1}{2}$BC，
∴OF=$\sqrt{O{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴FG=2OF=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是证明△ADE∽△CFE，根据E是线段OC的中点，得到CE：AC=CF：AD=1：3．