Question

如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，且sin∠ECB=

5

5

．以CE为直角边作等腰Rt△CEF，斜边CF分别交BD、AD于G、H点．
（1）若CF=10，求正方形ABCD的面积；
（2）求证：BE=

2

DG．

Answer 1

考点：正方形的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质求出CE，然后利用∠ECB的正弦求出BE，再利用勾股定理列式求出BC，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解；
（2）连接EH，延长AD至M，使DM=EB，连接CM，利用“边角边”证明△BCE和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EC=MC，全等三角形对应角相等可得∠BCE=∠DCM，然后求出∠ECH=∠MCH，再利用“边角边”证明△ECH和△MCH全等，根据全等三角形对应边相等可得EH=MH，设HD=x，正方形ABCD的边长为2a，表示出AE=BE=a，再表示出AH，EH，然后利用勾股定理列式求解得到x，再利用△DHG和△BCG相似，利用相似三角形对应边成比例表示出DG，即可得证．

解答：（1）解：∵△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=

2

2

CF=

2

2

×10=5

2

，
∴BE=CE•sin∠ECB=5

2

×

5

5

=

10

，
由勾股定理得，BC=

CE2-BE2

=

(5 2 )2-( 10 )2

=2

10

，
∴正方形ABCD的面积=（2

10

）²=40；

（2）证明：连接EH，延长AD至M，使DM=EB，连接CM，
在△BCE和△DCM中，

BC=CD ∠ABC=∠CDM=90° DM=EB

，
∴△BCE≌△DCM（SAS），
∴EC=MC，∠BCE=∠DCM，
∴∠ECH=∠MCH=45°，
在△ECH和△MCH中，

EC=MC ∠ECH=∠MCH CH=CH

，
∴△ECH≌△MCH（SAS），
∴EH=MH，
设HD=x，正方形ABCD的边长为2a，
则AE=BE=a，BD=

2

AB=2

2

a，
AH=2a-x，EH=a+x，
在Rt△AEH中，AE²+AH²=EH²，
即a²+（2a-x）²=（a+x）²，
解得x=

2

3

a，
∵AD∥BC，
∴△DHG∽△BCG，
∴

DG

BG

=

HD

BC

，
即

DG

2 2 a-DG

=

2 3 a

2a

，
解得DG=

2

2

a，
∴DG=

2

2

BE，
故BE=

2

DG．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形并用正方形ABCD的边长表示出BE、DG．