Question

1．如图，已知矩形ABCD中，AC，BD交于点O，AF⊥BD垂足为F，∠BCD的平分线交FA的延长线于点E，求证：AC=AE．

Answer 1

分析 首先设BD交CE于点M，由矩形ABCD中，EC平分∠BCD，可得∠ECA=45°-∠OCB，∠EMF=45°+∠OCB，又由AF⊥BD，易证得∠ECA=∠E，继而证得结论．

解答 证明：设BD交CE于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵EC是∠BCD的平分线，
∴∠ECB=45°，
∴∠ECA=∠ECB-∠OCB=45°-∠OCB，∠EMF=∠OBC+∠ECB=45°+∠OCB，
∵AF⊥BD，
∴∠E=90°-∠EMF=45°-∠OCB，
∴∠E=∠ECA，
∴AC=AE．

点评 此题考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定．注意分别表示出∠E、∠ECA与∠OCB的关系是解此题的关键．