Question

3．A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以3厘米每秒的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2厘米每秒的速度向点D移动．
（1）经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）经过多长时间，四边形APQD是矩形？
（3）P、Q两点从出发开始几秒时，在AB上存在一点M，使△PMQ为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）作PH⊥CD，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解；
（2）根据矩形的性质得出AP=DQ，即可求出t的值；
（3）根据等边三角形的性质得出PQ=PM，根据勾股定理得出关于t的方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作PH⊥CD，垂足为H，

则PH=AD=6，PQ=10，HQ=CD-AP-CQ=16-5t，
∵PH²+HQ²=PQ²
可得：（16-5t）²+6²=10²，
解得t₁=4.8，t₂=1.6．
答：P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm

（2）要使APQD是矩形，必须AP=DQ，
即3t=16-2t，
解得：t=$\frac{16}{5}$，
即经过$\frac{16}{5}$s时，四边形APQD是矩形；

（3）如图2，

过Q作QN⊥AB于N，
∵△PQM是等边三角形，
∴PQ=PM，
∵AP=3t，CQ=BN=2t，
∴PN=MN=16-3t-2t=16-5t，
∵PQ=PM，
∴PQ²=PM²，
∴6²+（16-5t）²=（16-5t+16-5t）²，
解得：t=$\frac{16±2\sqrt{3}}{5}$，
所以P、Q两点从出发开始$\frac{16±2\sqrt{3}}{5}$秒时，在AB上存在一点M，使△PMQ为等边三角形．

点评 此题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，一元二次方程的运用，利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键．