Question

11．已知如图，抛物线C₁：y=-x²+4x+1的顶点A在第一象限，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B，若点P是抛物线C₁上的点，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，则平行四边形ABCP的面积为8．

Answer 1

分析 先把一般式配成顶点式得到抛物线C₁的顶点A的坐标为（2，5），对称轴为直线x=2，再求出C点坐标，接着利用关于y轴对称的点的坐标特征写出B点坐标，然后根据平行四边形的面积公式计算．

解答 解：如图，
∵y=-x²+4x+1=-（x-2）²+5，
∴抛物线C₁的顶点A的坐标为（2，5），对称轴为直线x=2，
∵x=0时，y=-x²+4x+1=1，
∴C点坐标为（0，1），
∵抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，
∴B（-2，5），
∵四边形ABCP为平行四边形，
∴平行四边形ABCP的面积=$\frac{1}{2}$•（5-1）•（2+2）=8．
故答案为8．

点评 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），对称轴直线x=-$\frac{b}{2a}$．确定A点、C点和B点坐标是解决此题的关键．