Question

1．如图，己知点A是反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象与一次函数y=2x-1的图象在第一象限的交点，点P是x轴上一点，当△OAP为等腰三角形时，点P的坐标为（$\sqrt{2}$，0），（-$\sqrt{2}$，0），（2，0），（1，0）．

Answer 1

分析 把反比例函数y=$\frac{1}{x}$与一次函数y=2x-1这两个函数组成方程组求解即可得到A点坐标，然后求出OA的距离，再根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决．

解答 解：依题意有
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（1，1）．
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，OA与x轴所夹锐角为45°，
①当OA为腰时，由OA=OP₁得P₁（$\sqrt{2}$，0），
由OA=OP₂得P₂（-$\sqrt{2}$，0）；
由OA=AP₃得P₃（2，0）．
②当OA为底时，OP₄=AP₄得P₄（1，0）．
∴符合条件的点有4个，分别是（$\sqrt{2}$，0），（-$\sqrt{2}$，0），（2，0），（1，0）．
故答案为：（$\sqrt{2}$，0），（-$\sqrt{2}$，0），（2，0），（1，0）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是理解同时在两个函数解析式上，应是这两个函数解析式的公共解．答案较多时，应有规律的去找不同的解．