Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的角平分线AD、BE交于I，AD交BC于D，BE交AC于E，若△AIB的面积为6，则四边形ABDE的面积为

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：在AB上截取AF=AE，BG=BD，连接IF、IG，过点E作EM⊥AD于点M，过点G作GN⊥IF于点N，易证△AIE≌△AIF，△BID≌△BIG，根据三角形的内心的性质可求得∠AIB=90°+

1

2

∠ABC=135°，然后求出∠AIE、∠AIF、∠FIG的度数，然后根据正弦定理求出△EID和△FIG的面积，最后即可求出四边形ABDE的面积．

解答：解：在AB上截取AF=AE，BG=BD，连接IF、IG，过点E作EM⊥AD于点M，过点G作GN⊥IF于点N，
在△AIE和△AIF中，

AE=AF ∠EAI=∠FAI AI=AI

，
∴△AIE≌△AIF（SAS），
同理可得：△BID≌△BIG，
∵点I是角平分线AD、BE的交点，
∴点I是△ABC的内心，
∴∠AIB=90°+

1

2

∠ABC=135°，
∴∠AIE=∠BID=180°-∠AIB=45°，
∴∠AIF=∠AIE=∠BID=∠BIG=45°，
∴∠FIG=135°-45°-45°=45°，
∴S_△EID=

1

2

ID•EM=

1

2

EI•IDsin45°，
S_△FIG=

1

2

IF•GN=

1

2

IF•IGsin45°，
∴S_△EID=S_△FIG，
∴S_{四边形ABDE}=S_△EID+S_△AIE+S_△AIB+S_△BID
=S_△FIG+S_△AIF+S_△BIG+S_△AIB
=2S_△AIB
=12．
故答案为：12．

点评：本题考查了面积及等积变换，解答本题的关键是作出合适的辅助线，利用三角形的等积变换求出四边形ABDE的面积，难度较大．