Question

11．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．
（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是MD=ME；
（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当∠ADC=α时，求$\frac{ME}{MD}$的值．

Answer 1

分析 （1）先判断出△AMF≌△BME，得出AF=BE，MF=ME，进而判断出∠EBC=∠BED-∠ECB=45°=∠ECB，得出CE=BE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可；
（3）同（1）的方法判断出AF=BE，MF=ME，再判断出∠ECB=∠EBC，得出CE=BE即可得出∠MDE=$\frac{α}{2}$，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，延长EM交AD于F，
∵BE∥DA，
∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，
∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，
∵DA=DC，∠ADC=90°，
∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB=45°，
∴∠EBC=∠BED-∠ECB=45°=∠ECB，
∴CE=BE，
∴AF=CE，
∵DA=DC，
∴DF=DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∴∠MDE=45°，
∴MD=ME，
故答案为MD=ME；

（2）MD=$\sqrt{3}$ME，理由：
如图2，延长EM交AD于F，
∵BE∥DA，
∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，
∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，
∵DA=DC，∠ADC=60°，
∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB=30°，
∴∠EBC=∠BED-∠ECB=30°=∠ECB，
∴CE=BE，
∴AF=CE，
∵DA=DC，
∴DF=DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∴∠MDE=30°，
在Rt△MDE中，tan∠MDE=$\frac{ME}{MD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴MD=$\sqrt{3}$ME．

（3）如图3，延长EM交AD于F，
∵BE∥DA，
∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，
∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，
延长BE交AC于点N，
∴∠BNC=∠DAC，
∵DA=DC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠BNC=∠DCA，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠EBC，
∴CE=BE，
∴AF=CE，
∴DF=DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∵∠ADC=α，
∴∠MDE=$\frac{α}{2}$，
在Rt△MDE中，$\frac{ME}{MD}$=tan∠MDE=tan$\frac{α}{2}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判断和性质，等腰三角形的判断和性质，锐角三角函数，解（1）（2）的关键是判断出∠MDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，是一道基础题目．