Question

在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，面积为72

3

cm，求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的周长．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：（1）根据题意得出∠ABO=30°，进而利用锐角三角函数关系表示出AO，BO的长，再结合菱形面积公式求出答案即可；
（2）利用等边三角形的判定方法得出AB=AC求出即可．

解答：解：（1）∵∠ABC：∠BAD=1：2，∠ABC+∠BAD=180°（菱形的邻角互补），
∴∠ABC=60°，∠BCD=120°，
∴∠ABO=30°，
∵菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，
∴AO=CO，BO=DO且AC⊥BD，
设AO=xcm，则BO=

3

xcm，
故AC=2xcm，BD=2

3

xcm，
∵

1

2

AC×BD=72

3

=

1

2

×2x×2

3

x，
解得：x=6，
故AC=12cm，BD=12

3

cm；

（2）∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=12cm，
∴菱形的周长为：12cm×4=48cm．

点评：此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的面积计算，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．