Question

以A、B、C为圆心的三个圆，半径均为r，其中1＜r＜2，每两个圆心间的距离都是2．若B′是⊙A和⊙C的交点且在⊙B外，C′是⊙A和⊙B的交点且在⊙C外，试求B′C′的长．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系

专题：

分析：由“圆心间的距离都是2”易知三角形ABC为边为2的正三角形，AB′C是腰为r、底为2的等腰三角形，其高B′F=

B′C2-FC2

=

r2-1

，根据三角形全等判定出C′B′∥BC，根据相似性易证△B′FE∽△BCF相似求得：EB′=

2 3r2-3

3

，EF=

3r2-3

3

，△ADE是等边三角形，DE=AE=1-

3r2-3

3

由C′D=EB′，得出B′C′=2EB′+DE=

4 3r2-3

3

+1-

3r2-3

3

=

3r2-3

+1．

解答：
解：如图，连接AC，BC，AB，AC′AB′BC′，AC交B′C′于点E，AB交B′C′于点D，作B′F⊥AC交AC于点F，
∵每两个圆心间的距离都是2．
∴△ABC为边长为2的正三角形，
∵△AB′C是等腰三角形且AB′=CB′=r，
∴B′F=

B′C2-FC2

=

r2-1

，
∵A、B、C为圆心的三个圆，半径均为r，每两个圆心间的距离都是2，
∴在△AC′B和△AB′C中，

AC′=AB′ BC′=CB′ AB=AC

，
∴△AC′B≌△AB′C（SSS），
∴∠AC′B=∠AB′C，∠C′BA=∠B′CA，
∵∠AC′B′=∠AB′C′，∠ABC=∠ACB，
∴∠BC′B′=∠CB′C′，∠C′BC=∠B′CB，
∴∠B′C′B+∠C′BC=180°，
∴C′B′∥BC，
又∵B，F，B′在同一条直线上，
∴∠C′B′B=∠B′BC，∠B′EC=∠BCE，
∴△B′FE∽△BCF
∴

B′F

BF

=

EB′

BC

，

B′F

BF

=

EF

FC

，
∵B′F=

r2-1

，BF=

3

，FC=1，BC=2，
∴EB′=

2 3r2-3

3

，EF=

3r2-3

3

，
∴AE=1-EF=1-

3r2-3

3

∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE=1-

3r2-3

3

∵C′D=EB′
∴B′C′=2EB′+DE=

4 3r2-3

3

+1-

3r2-3

3

=

3r2-3

+1

点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是求出C′B′∥BC，再利用相似三角形求线段的长度．