Question

9．已知：在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，
（1）若DE∥AC，DF∥AB，且AE=AF，则四边形AEDF是菱形形；
（2）如图，若DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，作CH⊥AB于点H，求证：CH=DE+DF．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AEDF是平行四边形，再证明是菱形．
（2）方法一利用面积法即可证明，方法二如图3，过C作CG⊥DE交ED的延长线于点G，先证明四边形EGCH是矩形，再证明△CDF≌△CDG即可．

解答 解：（1）结论：菱形．
理由：如图1中，

∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴四边形AEDF是菱形．

（2）解法一：如图2，连接AD，

∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•CH$，${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•DE$，${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}AC•DF$
又S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}AB•CH=\frac{1}{2}AB•DE+\frac{1}{2}AC•DF$，
又AB=AC，
∴CH=DE+DF．
解法二：如图3，过C作CG⊥DE交ED的延长线于点G，则∠CGE=90°，

∵∠GEH=∠EHC=90°，
∴四边形EGCH是矩形，
∴CH=EG=ED+DG，
∵∠B+∠BDE=90°，∠ACB+∠CDF=90°，
而由AB=AC可知：∠B=∠ACB
∴∠BDE=∠CDF，
又∵∠BDE=∠CDG，
∴∠CDF=∠CDG，
在△CDF和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠CDG}\\{∠DFC=∠G=90°}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CDG，
∴DF=DG，
∴CH=DE+DF．

点评 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质、面积法等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用面积解决问题，属于中考常考题型．