Question

13．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，BD平分∠ABC，∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形．

Answer 1

分析 △DEF为等边三角形．欲证明△DEF为等边三角形，只需推知△DEF为等腰三角形，且有一内角为60度即可．

解答 证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．
∵DC∥AB
∴∠CDB=∠ABD=30°．
∴∠CDB=∠CBD=30°，
∴CD=CB．
∵CF⊥BD．
∴DF=BF，
∵DE⊥AB，
∴EF为Rt△BDE斜边BD上的中线，
∴DF=BF=EF，
∵∠DBE=30°．
∴∠BDE=60°，
∴△DEF为等边三角形．

点评 本题考查了梯形的性质及等腰三角形的判定及判定，包括了等边三角形的判定及性质，题目难度适中．