Question

5．已知：P为∠AOB内一个动点，M，N分别为OA，OB上的点，连接PM，PN，MN．
（1）如图1，若∠AOB=90°，OP=2，PM⊥OA，PN⊥OB，则MN的长为2．
（2）如图2，若∠AOB=120°，OP=2，若P在∠AOB的角平分线上，且满足PM=PN（OM＜ON），求四边形OMPN的面积．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到四边形PNOM是矩形，
根据矩形的性质即可得到结论；
（2）过P作PG⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PG=PH，推出Rt△PGM≌Rt△PHN，于是得到结论．

解答 解：（1）∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠OMP=∠MON=∠PNO=90°，
∴四边形PNOM是矩形，
∴MN=OP=2，
故答案为：2；
（2）过P作PG⊥OA，PH⊥OB，
∵P在∠AOB的角平分线上，
∴PG=PH，
在Rt△PGM与Rt△PHN中，$\left\{\begin{array}{l}{PG=PH}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴Rt△PGM≌Rt△PHN，
∵∠AOB=120°，
∴∠POA=∠POB=60°，
∴OG=OH=1，PG=PH=$\sqrt{3}$，
∴四边形OMPN的面积=四边形PGOH的面积=2△OPG的面积=2×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．