Question

20．在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是边AC的垂直平分线，交AC于点D，交直线BC于点E．已知∠BAE=20°，则∠C的度数为35°或55°．

Answer 1

分析 分两种情况，当AC的垂直平分线交CB的延长线于点E时，连接EA，根据线段垂直平分线的性质得到EA=CE，由等腰三角形的性质得到∠C=∠EAC，根据直角三角形中两锐角互余得到方程∠C-20°+∠C=90°，于是得到结论；当AB的垂直平分线交线段BC于点D时，同理得到结论．

解答 解：如图1，当AC的垂直平分线交CB的延长线于点E时，连接EA，
∵E在线段AC的垂直平分线上，
∴EA=CE，
∴∠C=∠EAC，
∵∠BAE=20°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠C=90°，
∴∠C-20°+∠C=90°，
解得∠C=55°；
如图2，当AC的垂直平分线交线段BC于点E时，连接EA，
∵E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA=EC，
∴∠C=∠CAE，
∵∠BAE=20°，
∴∠C+20°+∠C=90°，
解得∠C=35°；
综上可知∠C为35°或55°，
故答案为：35°或55°．

点评 本题主要考查线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．