Question

1．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A（1，0），B（0，2），将点B沿x轴正方向平移3个单位长度得到对应点B′，点B′恰在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上．
（1）求k的值；
（2）如图2，将△AOB（点O为坐标原点）沿AB翻折得到△ACB，求同一平面内点C的坐标；
（3）在同一平面内，是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△AOB放大为原来的两倍后得到△DEF（即△DEF∽△AOB，且相似比为2），使得点D、F恰好在反比例函数y=$\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象上？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平移规律确定出B′的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）利用待定系数法求出直线AB解析式，利用对称性质确定出直线OC解析式，联立直线AB与直线OC解析式求出线段OC中点坐标，设出C坐标，求出b的值，即可确定出C坐标；
（3）△AOB放大为原来的两倍后得到△DEF，且△DEF∽△AOB，则点D和F一定在反比例函数图象上，设出P与D坐标，根据该相似三角形的对应边成比例列出比例式并解答．

解答 解：（1）点B沿x轴正方向平移3个单位长度得到对应点B′的坐标是（3，2），
代入y=$\frac{k}{x}$得：k=6；

（2）设直线AB的解析式是y=mx+n，则$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式是y=-2x+2，
∴OC的解析式是y=$\frac{1}{2}$x．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
设C的坐标是（b，$\frac{1}{2}$b），
可得：$\frac{1}{2}$b=$\frac{4}{5}$，
解得：b=$\frac{8}{5}$．
则C的坐标是（$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$）；

（3）如图3中，△AOB放大为原来的两倍后得到△DEF，且△DEF∽△AOB，D和F在反比例函数图象上，设D（m，$\frac{6}{m}$）则易知F（m+2，$\frac{6}{m}$-4），
∴（m+2）（$\frac{6}{m}$-4）=6，
解得m=1或-3（舍弃），
∴D（1，6），F（3，2），
∴直线BD的解析式为y=4x+2
直线AF的解析式为y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x+2}\\{y=x-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴P（-1，-2），
连接BF、AD，BF交AD于P′，易知P′（1，2），
∴P′（1，2）或P（-1，-2）即为位似中心，（图只是作为参考！）
综上所述，P坐标为（-1，-2）或（1，2）．

点评 本题考查了反比例函数综合题．解题时，利用了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及位似图形的性质．要注意（3）中x的取值范围．该题难度比较大．