Question

6．如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．
（Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标；
（Ⅱ）设△BCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值．

Answer 1

分析 （I）作辅助线，分别求OG和MG的长即可；
（II）如图1，同理可求得AG和OG的长，证明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=$\frac{1}{2}$t，AF=MG=2，分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围；
（III）证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t=0时，值最小．

解答 解：（I）如图1，过M作MG⊥OF于G，
∴MG∥OB，
当t=2时，OA=2，
∵M是AB的中点，
∴G是AO的中点，
∴OG=$\frac{1}{2}$OA=1，MG是△AOB的中位线，
∴MG=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴M（1，2）；

（II）如图1，同理得：OG=AG=$\frac{1}{2}$t，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAF=90°，
∵∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠BAO=∠ACF，
∵∠MGA=∠AFC=90°，MA=AC，
∴△AMG≌△CAF，
∴AG=CF=$\frac{1}{2}$t，AF=MG=2，
∴EC=4-$\frac{1}{2}$t，BE=OF=t+2，
∴S=S_△BCE=$\frac{1}{2}$EC•BE=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{1}{2}$t）（t+2）=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4；
当A与O重合，C与F重合，如图2，此时t=0，
当C与E重合时，如图3，AG=EF，
即$\frac{1}{2}$t=4，
t=8，
∴S与t之间的函数关系式为：S=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4（0≤t≤8）；

（III）如图1，易得△ABO∽△CAF，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{OB}{AF}=\frac{OA}{FC}$=2，
∴AF=2，CF=$\frac{1}{2}$t，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{1}{2}t）^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{1}{4}{t}^{2}}$，
BC=$\sqrt{B{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{（t+2）^{2}+（4-\frac{1}{2}t）^{2}}$=$\sqrt{5（\frac{1}{4}{t}^{2}+4）}$，
∴BC+AC=（$\sqrt{5}$+1）$\sqrt{\frac{1}{4}{t}^{2}+4}$，
∴当t=0时，BC+AC有最小值．

点评 本题考查了坐标平面内几何图形的多种性质，难度适中．涉及到的知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转）、三角形的中位线等，第（3）问还考查了几何图形的空间想象能力．本题涉及考点众多，内涵丰富，对考生的数学综合能力要求较高．