Question

20．如图，⊙O的直径AB为12点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，且∠DAC=30°，则图中阴影部分面积为18$\sqrt{3}$-6π．

Answer 1

分析 连接OC，由圆周角定理得出∠BOC=2∠DAC=60°，可求得∠D=30°，得出OD=2OC=12，由勾股定理求出CD，利用△OCD的面积-扇形BOC的面积求得阴影部分的面积．

解答 解：连接OC，如图所示：
∵DC切⊙O于点C，
∴DC⊥OC，
∵∠BOC=2∠DAC=60°，
∴∠D=30°，
在Rt△OCD中，OC=$\frac{1}{2}$AB=6，
∴OD=2OC=12，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{3}$OC=6$\sqrt{3}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•CD=$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$，
∵∠COD=60°，
∴S_扇形COB=$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$=6π，
∴S_阴影=S_△OCD-S_扇形COB=18$\sqrt{3}$-6π；
故答案为：18$\sqrt{3}$-6π．

点评 本题主要考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理及扇形面积的计算；熟练掌握切线的性质，连接过切点的半径是解题的关键．