Question

15．已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．

（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：AD=BE．
（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．
（3）在（2）的条件下，∠APE大小是否随着∠ACB的大小发生变化而发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠ACE=∠DCB=60°，CA=CE，CD=CB，根据全等三角形的判定定理得到△ECB≌△ACD，根据全等三角形的性质证明；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ACE=∠DCB=60°，CA=CE，CD=CB，根据全等三角形的判定定理得到△ECB≌△ACD，根据全等三角形的性质证明；
（3）根据全等三角形的性质得到∠BEC=∠DAC，根据三角形内角和定理计算即可．

解答 解：（1）∵△ACE和△BCD都是等边三角形，
∴∠ACE=∠DCB=60°，CA=CE，CD=CB，
∴∠ACE+∠DCE=∠DCB+∠DCE，即∠ACD=∠ECB，
在△ECB和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=AC}\\{∠ECB=∠ACD}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△ACD，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE；
（2）AD=BE成立．
证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形，
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，
在△ECB和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=AC}\\{∠ECB=∠ACD}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；
（3）∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°，
如图2，设BE与AC交于Q，
由（2）可知△ECB≌△ACD，
∴∠BEC=∠DAC，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°，
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．

点评 本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的三条边相等、三个角都是60°、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．