【题目】如图，在正方体中， 分别是棱的中点， 为棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为.

（1）证明： 为的中点；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨令正方体的棱长为2，设，利用，解得，即可证得；

（2）分别求得平面与平面的法向量，利用求解即可.

试题解析：

（1）证明：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨令正方体的棱长为2，

则， ， ， ， ，

设，则， ，

所以 ，

所以，解得（舍去），即为的中点.

（2）解：由（1）可得， ，

设是平面的法向量，

则.令，得.

易得平面的一个法向量为，

所以.

所以所求锐二面角的余弦值为.

点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

【题型】解答题
【结束】
22

【题目】已知椭圆的短轴长为2，且椭圆过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线过定点，且斜率为，若椭圆上存在两点关于直线对称， 为坐标原点，求的取值范围及面积的最大值.

【题目】某小型企业甲产品生产的投入成本（单位：万元）与产品销售收入（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次产品的相关数据.

（1）求关于的线性回归方程；

（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本20万元的毛利率更大还是投入成本24万元的毛利率更大（）？

相关公式： ， .

【答案】（1）.（2）投入成本20万元的毛利率更大.

【解析】试题分析：（1）由回归公式，解得线性回归方程为；（2）当时， ，对应的毛利率为，当时， ，对应的毛利率为，故投入成本20万元的毛利率更大。

试题解析：

（1）， ，

， ，故关于的线性回归方程为.

（2）当时， ，对应的毛利率为，

当时， ，对应的毛利率为，

故投入成本20万元的毛利率更大.

【题型】解答题
【结束】
21

【题目】如图，在正方体中， 分别是棱的中点， 为棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为.

（1）证明： 为的中点；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【题目】定义在上的偶函数，当时，.

Ⅰ.写出在上的解析式；

Ⅱ.求出在上的最大值；

Ⅲ.若是上的增函数，求实数的取值范围。

【题目】已知圆的圆心在直线上，且圆经过点与点.

（1）求圆的方程；

（2）过点作圆的切线，求切线所在的直线的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】试题分析：（1）求出线段的中点，进而得到线段的垂直平分线为，与联立得交点，∴.则圆的方程可求

（2）当切线斜率不存在时，可知切线方程为.

当切线斜率存在时，设切线方程为，由到此直线的距离为，解得，即可到切线所在直线的方程.

试题解析：（（1）设 线段的中点为，∵，

∴线段的垂直平分线为，与联立得交点，

∴.

∴圆的方程为.

（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.

当切线斜率存在时，设切线方程为，即，

则到此直线的距离为，解得，∴切线方程为.

故满足条件的切线方程为或.

【点睛】本题考查圆的方程的求法，圆的切线，中点弦等问题，解题的关键是利用圆的特性，利用点到直线的距离公式求解．

【题型】解答题
【结束】
20

【题目】某小型企业甲产品生产的投入成本（单位：万元）与产品销售收入（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次产品的相关数据.

（1）求关于的线性回归方程；

（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本20万元的毛利率更大还是投入成本24万元的毛利率更大（）？

相关公式： ， .

【题目】对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

（1）求出表中及图中的值；

（2）若该校高一学生有800人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间内的人数.

【答案】（1）， ， ；（2）人.

【解析】试题分析：（1）由题意， 内的频数是10，频率是0.25知， ，所以，则， .（2）高一学生有800人，分组内的频率是，人数为人.

试题解析：

（1）由内的频数是10，频率是0.25知， ，所以.

因为频数之和为40，所以， .

.

因为是对应分组的频率与组距的商，所以.

（2）因为该校高一学生有800人，分组内的频率是，

所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人.

【题型】解答题
【结束】
18

【题目】已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点.

（1）设为上一动点， 到直线的距离为，点，求的最小值；

（2）求.

【题目】已知函数，。

Ⅰ.求函数的最小正周期和单调递增区间；

Ⅱ.当时，方程恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；

Ⅲ.将函数的图象向右平移个单位后所得函数的图象关于原点中心对称，求的最小值。

【题目】已知定义在[﹣ ， ]的函数f（x）=sinx（cosx+1）﹣ax，若y=f（x）仅有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.（ ，2]
B.（﹣∞， ）∪[2，+∞）
C.[﹣ ， ）
D.（﹣∞，﹣ ]∪（ ，+∞）

Ⅰ.设月用电x度时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；

Ⅱ.小明家第一季度缴纳电费情况如下：

问小明家第一季度共用多少度？