题目内容
【题目】已知函数
，
。
Ⅰ.求函数
的最小正周期和单调递增区间；
Ⅱ.当
时，方程
恰有两个不同的实数根，求实数
的取值范围；
Ⅲ.将函数的图象向右平移
个单位后所得函数
的图象关于原点中心对称，求
的最小值。
【答案】（1）递增区间为
；（2）
;（3）
.
【解析】
（I）由条件利用余弦函数的周期性、单调性得出结论．
（Ⅱ）根据余弦函数的图象，数形结合可得k的范围．
（Ⅲ）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得m的最小正值．
解：（1）因为
，所以函数
的最小正周期为
，
由
，得
，故函数的递增区间为
；
（Ⅱ）因为在区间
上为增函数，在区间
上为减函数
又
，
，
，
当时方程
恰有两个不同实根.
（Ⅲ）
由题意得
，
，
当
时，，此时
关于原点中心对称.
名校课堂系列答案【题目】某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x(百万元)与公司所获得利润y(百万元)的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如下表：
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
科研费用x(百万元) | 1.6 | 1.7 | 1.8 | 1.9 | 2.0 |
公司所获利润y(百万元) | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
(1)求y关于x的回归直线方程；
(2)若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元．
【题目】某小型企业甲产品生产的投入成本
（单位：万元）与产品销售收入
（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次产品的相关数据.
| 7 | 10 | 11 | 15 | 17 |
| 19 | 22 | 25 | 30 | 34 |
（1）求
关于
的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本20万元的毛利率更大还是投入成本24万元的毛利率更大（
）？
相关公式： 
， 
.
【答案】（1）
.（2）投入成本20万元的毛利率更大.
【解析】试题分析：（1）由回归公式，解得线性回归方程为
；（2）当
时， 
，对应的毛利率为
，当
时， 
，对应的毛利率为
，故投入成本20万元的毛利率更大。
试题解析：
（1）
， 
，
， 
，故
关于
的线性回归方程为
.
（2）当
时， 
，对应的毛利率为
，
当
时， 
，对应的毛利率为
，
故投入成本20万元的毛利率更大.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】如图，在正方体
中， 
分别是棱
的中点， 
为棱
上一点，且异面直线
与
所成角的余弦值为
.
（1）证明： 
为
的中点；
（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【题目】某中学对男女学生是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查者对学校高三年级随机抽取了100名学生，调查结果如表：
喜爱 | 不喜爱 | 总计 | |
男学生 | 60 | 80 | |
女学生 | |||
总计 | 70 | 30 |
附：K2= 
P（K2≥k0） | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
（1）完成如表，并根据表中数据，判断是否有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”；
（2）从以上被调查的学生中以性别为依据采用分层抽样的方式抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取5名学生去某古典音乐会的现场观看演出，求正好有X个男生去观看演出的分布列及期望．
