题目内容
【题目】△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,其面积S=a2﹣(b﹣c)2 . 若a=2,则BC边上的中线长的取值范围是 .
【答案】(1,4]
【解析】解:∵S=a2﹣(b﹣c)2=a2﹣b2﹣c2+2bc,
b2+c2﹣a2=2bccosA,
S= ,
∴2bc(1﹣cosA)= bcsinA,
∴sinA=4﹣4cosA,
又∵sin2A+cos2A=1,
∴cosA= ,sinA=
.
由正弦定理得 ,
∴b= ,c=
.
设BC的中点为D,则CD= .
在△ACD中,由余弦定理得AD2=CD2+AC2﹣2ACCDcosC=1+ sin2B﹣
cosC.
∵cosC=﹣cos(A+B)=sinAsinB﹣cosAcosB= ,
∴AD2=1+ sin2B﹣
(
)=
sin2B+
sinBcosB+1=
×
+
sin2B+1=
sin2B﹣
cos2B+
.
= sin(2B﹣φ)+
,其中sinφ=
,cosφ=
,∴φ=
.
∴AD2= sin(2B+A﹣
)+
=﹣
cos(2B+A)+
.
∵0<B<π﹣A,
∴A<2B+A<2π﹣A.
∵sinA= ,∴A
,
∴当2B+A=π时,AD2取得最大值 =
=16,
当2B+A=A或2π﹣A时,AD2取得最小值﹣ ×
+
=1.
∴1<AD≤4.
所以答案是(1,4].
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识,掌握正弦定理:,以及对余弦定理的定义的理解,了解余弦定理:
;
;
.
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