4.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)=40Q-
Q2，则总利润L(Q)的最大值是 万元.
答案 2 500
例1如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b<a),在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.
解 设四边形EFGH的面积为S，
则S△AEH=S△CFG=
x2,
S△BEF=S△DGH=(a-x)(b-x)，
∴S=ab-2［
2+(a-x)(b-x)］
=-2x2+(a+b)x=-2(x-
2+
由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}.
又0<b<a,∴0<b<
,若
≤b,即a≤3b时，
则当x=时，S有最大值
;
若>b,即a>3b时，
S(x)在(0,b］上是增函数，
此时当x=b时，S有最大值为
-2(b-)2+=ab-b2,
综上可知，当a≤3b，x=时，
四边形面积Smax=,
当a>3b，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.
例2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度
v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴
的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过
的路程s(km).
(1)当t=4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.
解 (1)由图象可知：
当t=4时，v=3×4=12,
∴s=×4×12=24.
(2)当0≤t≤10时，s=·t·3t=
t2，
当10<t≤20时，s=×10×30+30(t-10)=30t-150；
当20<t≤35时，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.
综上可知s=
(3)∵t∈［0，10］时，smax=×102=150<650.
t∈(10，20］时，smax=30×20-150=450<650.
∴当t∈(20，35］时，令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40,∵20<t≤35,
∴t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.
例3(12分)1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.
(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？
以下数据供计算时使用：
|
l
数N |
l
1.010 |
l
1.015 |
l
1.017 |
l
1.310 |
l
2.000 |
|
l
对数lgN |
l
0.004 3 |
l
0.006 5 |
l
0.007 3 |
l
0.117 3 |
l
0.301 0 |
|
l
数N |
l
3.000 |
l
5.000 |
l
12.48 |
l
13.11 |
l
13.78 |
|
l
对数lgN |
l
0.477 1 |
l
0.699 0 |
l
1.096 2 |
l
1.117 6 |
l
1.139 2 |
解 (1)设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，
则y·(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，
即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2， 4分
两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，
则lg(1+x)=
=0.007 525，
∴1+x≈1.017，得x=1.7%. 8分
(2)依题意，y≤12.48(1+1%)10?，
得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,
∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿. 11分
答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年底人口至多有13.78亿. 12分
以下，则至少需要重叠玻璃板数为 (
)
a)=
内有一实根. 
)(2a+b) 
基础自测
解 设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示). 
即
即
解得：p
或p
.