1.化简求值

(1)

(2)

(3)

解　 (1)原式=

(2)原式=

(3)原式=

5.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m ²)与时间t(月)的关系：y=a^t,有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5

个月时，浮萍面积就会超过30 m²;③浮萍从4 m²蔓延到12 m²需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m²、3 m²、6 m²所经过的时间分别为t₁、t₂、t₃,则t₁+t₂=t₃.其中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

?A.①②　　　　　　　　　　　 　　　　?B.①②③④　

?C.②③④⑤　　　　　　　　　　　　　　 ?D.①②⑤　

答案?D?　

例1计算：(1)

(2)2

(3)

解　 (1)方法一 　利用对数定义求值

设

则

∴x=-1.

方法二 利用对数的运算性质求解

(2)原式=

=

(3)原式=

=

=

=

例2比较下列各组数的大小.

(1)log₃与log₅；

(2)log_1.10.7与log_1.20.7；

(3)已知比较2^b,2^a,2^c的大小关系.

解　 (1)∵log₃<log₃1=0,　

而log₅>log₅1=0,∴log₃<log₅.　

(2)方法一　 ∵0<0.7<1,1.1<1.2,　

∴0>log_0.71.1>log_0.71.2,　

∴　

即由换底公式可得log_1.10.7<log_1.20.7.　

方法二　 作出y=log_1.1x与y=log_1.2x的图象.　

如图所示两图象与x=0.7相交可知log_1.10.7<log_1.20.7.　

(3)∵y=为减函数，且

∴b>a>c,而y=2^x是增函数，∴2^b>2^a>2^c.　

例3(12分)已知函数f(x)=log_ax (a>0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞)都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.

解　 当a>1时，对于任意x∈［3，+∞)，都有f(x)>0.　

所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log_ax在［3，+∞)上为增函数，

∴对于任意x∈［3，+∞)，有f(x)≥log_a3. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞)都成立.　

只要log_a3≥1=log_aa即可，∴1<a≤3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　6分　

当0<a<1时，对于x∈［3，+∞)，有f(x)<0,　

∴|f(x)|=-f(x).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分　

∵f(x)=log_ax在［3，+∞)上为减函数，　

∴-f(x)在［3，+∞)上为增函数.　

∴对于任意x∈［3，+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-log_a3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞)都成立，　

只要-log_a3≥1成立即可，　

∴log_a3≤-1=log_a,即≤3,∴≤a<1.　

综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞)都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［，1).　　　　　　　　　　　　 　12分　

例4　 已知过原点O的一条直线与函数y=log₈x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log₂x的图象交于C、D两点.　

(1)证明：点C、D和原点O在同一直线上；　

(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.　

(1)证明　 设点A、B的横坐标分别为x₁、x₂,　

由题设知x₁>1,x₂>1,　

则点A、B的纵坐标分别为log₈x₁、log₈x₂.　

因为A、B在过点O的直线上，　

所以　

点C、D的坐标分别为(x₁,log₂x₁)、(x₂,log₂x₂),　

由于log₂x₁==3log₈x₁,log₂x₂=3log₈x₂,　

OC的斜率为k₁=　

OD的斜率为k₂=　

由此可知k₁=k₂,即O、C、D在同一直线上.　

(2)解　 由于BC平行于x轴，知log₂x₁=log₈x₂，　

即得log₂x₁=log₂x₂,x₂=,

代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂，得　

由于x₁>1,知log₈x₁≠0,故=3x₁,　

又因x₁>1,解得x₁=,

于是点A的坐标为(，log₈).　

4.若f(x)=log_ax在［2，+∞)上恒有f(x)>1,则实数a的取值范围是　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.(，1)　　 ?　　　　　　　　　 B.(0，)∪(1，2)　

?C.(1，2)　　　　 ?　　　　　　　　　 D.(0，)∪(2，+∞)　

答案?C?　

3.已知log₇［log₃(log₂x)］=0，那么等于　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.　　　　　 ?B.?　　　　　 C.?　　　　　　 D.　

答案?C?　

2.已知3^a=5^b=A,且=2，则A的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.15　　　　　　 B.?　　　　 C.±?　　　　　 D.225　

答案?B?　

1.(2008·全国Ⅱ理，4)若x∈(e^-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln³x,则　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　(　　 )　

?A.a<b<c　　　　　 ?B.c<a<b　　　　 ?C.b<a<c　　　　　 ?D.b<c<a　

答案?C?　

12.已知f(x)=　

(1)判断函数奇偶性；　

(2)证明：f(x)是定义域内的增函数；　

(3)求f(x)的值域.　

(1)解　 ∵f(x)的定义域为R，　

且f(-x)==-f(x)，　

∴f(x)是奇函数.　

(2)证明　 方法一　 f(x)=　

令x₂＞x₁，则f(x₂)-f(x₁)　

=

当x₂>x₁时，＞0.

又∵+1＞0，＞0，　

故当x₂＞x₁时，f(x₂)-f(x₁)＞0，　

即f(x₂)＞f(x₁).所以f(x)是增函数.　

方法二　 考虑复合函数的增减性.　

由f(x)=.　

∵y₁=10^x为增函数，　

∴y₂=10^2x+1为增函数，y₃=为减函数，　

y₄=-为增函数，　

f(x)=1-为增函数.　

∴f(x)=在定义域内是增函数.　

(3)解　 方法一　 令y=f(x)，由y=　

解得　

∵10^2x＞0，∴-1＜y＜1.　

即f(x)的值域为(-1，1).　

方法二　 ∵f(x)=1-,∵10^2x＞0,∴10^2x+1＞1.　

∴0＜＜2,∴-1＜1-＜1,　

即值域为(-1,1).

§2.5 对数与对数函数

基础自测

11.已知函数f(x)= (a>0，且a≠1).　

(1)判断f(x)的单调性；　

(2)验证性质f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m²)<0的实数m的范围.　

解　 (1)设x₁<x₂,x₁-x₂<0,1+>0.　

若a>1,则>0,　

所以f(x₁)-f(x₂)=<0,　

即f(x₁)<f(x₂),f(x)在(-∞,+∞)上为增函数；　

同理，若0<a<1，则,　

f(x₁)-f(x₂)=　

即f(x₁)<f(x₂),f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.　

综上，f(x)在R上为增函数.　

(2)f(x)=　

则f(-x)= 　

显然f(-x)=-f(x).　

f(1-m)+f(1-m²)<0,　

即f(1-m)<-f(1-m²)f(1-m)<f(m²-1),　

函数为增函数，且x∈(-1,1)，　

故解-1<1-m<m²-1<1,可得1<m<.　

10.已知函数f(x)=　

(1)求f(x)的定义域；　

(2)判断f(x)的奇偶性；　

(3)证明：f(x)>0.　

(1)解　 由2^x-1≠0，得x≠0,　

∴定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).　

(2)解　 由(1)得，f(x)的定义域关于原点对称，

　f(x)= =　

则f(-x)=　

∴f(x)= 是偶函数.　

(3)证明　 当x>0时，2^x>1,x³>0.　

∴>0.　

∵f(x)为偶函数，∴当x<0时，f(x)=f(-x)>0.　

综上可得f(x)>0.

9.要使函数y=1+2^x+4^xa在x∈(-∞，1］上y>0恒成立，求a的取值范围.　

解　 由题意得1+2^x+4^xa>0在x∈(-∞,1］上恒成立，即a>-在x∈(-∞，1］上恒成立.　

又∵-

∵x∈(-∞，1］，∴()^x∈［，+∞).　

令t=()^x,则f(t)=-(t+)²+,　

t∈［，+∞)，　

则f(t)在［,+∞)上为减函数，　

f(t)≤f()=-(+)² +,　

即f(t)∈(-∞，-］.　

∵a>f(t),∴a∈(-，+∞).