在△ABC中，cos∠BAC =，

∴ 四边形EMNB是平行四边形，得 MN∥BE，且MN = BE，MN∥CC₁．

∴ B₁E∥AA₁，而E是BB₁的中点，∴ B₁E =，∴ DF∥B₁E 且 DF = B₁E，

∴ 四边形DEB₁F是平行四边形，从而 DE∥B₁F，注意到 B₁F 在平面A₁B₁C₁内，

所以 DE∥平面A₁B₁C₁．………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）假设存在点E使平面EAC₁⊥平面ACC₁A₁，则过E作EM⊥AC₁于M，过B作BN⊥AC于N，连结MN．∵ 二面角E?AC₁?C是直二面角，即平面EAC₁⊥ACC₁A，

∴ EM⊥平面ACC₁A．同理可证 BN⊥平面ACC₁A．∴ EM∥BN．………8分

由B₁B∥平面ACC₁A₁，得 EM = BN，

19．（Ⅰ）取A₁C₁的中点F，连结DF，则 DF∥AA₁，DF =．∵ ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，

x 的数学期望 Ex == 0．……………………………………………12分

∴ x 的分布列是：

………………………………10分

P（x = 0）=，P（x = 3）= ．…………………………………………9分

x

－6

－3

0

3

P