例3. 5个相同小球放到4个不同盒子里，每盒至少有1个，共有多少种放法？

　　 解法1：每盒先放入1球，剩下1球任选1盒，共有：(种)放法。

　　 解法2：(第一隔板法)

　　 5个小球可形成6个空隙，由于每盒至少放1个小球，所以除去两边空隙还剩4个空，只要在这4个位置上隔进3个板，即可满足要求。所以有：(种)放法。

　 例4. 将5个相同小球放到4个不同盒子里(盒子可空)，共有多少种放法？

　　 解法1：(分类法)

　　 第一类：全部放入1个盒子里，有：(种)放法；

　　 第二类：放入2个盒子里，有：(种)放法；

　　 第三类：放入3个盒子里，有：(种)放法；

　　 第四类：放入4个盒子里，有4种放法。

　　 所以，共有：4+24+24+4＝56(种)放法。

　　 解法2：(第二隔板法)

　　 将4个盒子与5个小球看成9个相同元素，除去两边形成8个空隙，将这8个空隙隔进3个板，即有：(种)放法。

　　 一般地，相同元素分组，可用隔板法。如果每组至少一个元素可用第一隔板法，如果没有要求可用第二隔板法。

　　 相关练习：

1. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，每班至少1人，不同的分配方案有几种？()

　 例2. 小麦、大麦品种各1种，种在5种不同土质的试验田里，3块种小麦，2块种大麦，有多少种种法？

　　 解：这5个不尽相异的元素有3个相同，另2个相同，所以共有：(种)种法。

　　 一般地，在n个不尽相异的元素里，如果有m₁个元素相同，又有m₂个元素相同，并且m₁+m₂＝n，那么这n个元素的不同排列种数。

　 例1. 4个同学争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？

　　 解：完成这件事情可分三步：(1)第一项冠军有4种可能；(2)第二项冠军有4种可能；(3)第三项冠军有4种可能。所以可能情况有：4×4×4＝64(种)。

　　 一般地，从n个不同元素里取出允许重复的m个元素，按一定顺序排成一列，那么，第1、第2、…、第m个位置上选取元素的方法都有n种。由分步计数原理得每次从n个不同元素里取出允许重复的m个元素的排列数为：

　　 相关练习：

　　 用0，1，2，…，9这10个数字可组成多少个8位数字的电话号码？(10⁸)

2. 引伸，推广成定理

　　 定理：若，则

　　 证明：因为n个数的方差

　　 ，

　　 化简得。

　　 当且仅当时，取“=”号。

　　 该定理反映了“n个数的平方和”与“n个数的和的平方”之间的内在联系。

　　 例4. 已知，求证

　　 证明：由定理知

　　 所以，

　　 即。

　　 当且仅当时取“=”号。

　　 例2. 已知，求证

　　 证明：由定理知

　　 ，

　　 所以

　　 又知，

　　 所以，

　　 则

　　 所以

　　 当且仅当，即时取“=”号。

　　 例3. 设，且，求的最大值与最小值。

　　 解：由以上定理知

　　 　　　　 (1)

　　 令

　　 则　　　　　　　　　　　　　　　 (2)

　　 又知，

　　 所以　　　　　　 (3)

　　 (2)，(3)代入(1)式得，

　　 所以

　　 可知的最大值为4，此时

1. 巧用方差解题

　　 例1. 已知，求证：

　　 证明：令，则的平均数。

　　 方差

　　 整理得，

　　 即

　　 当且仅当，且，即时取“=”号。

　　 例2. 已知，求的值。

　　 分析：数的平均数

　　 方差

　　 整理得

　　 当且仅当时取“=”号。

　　 又知

　　 所以

　　 求得

　　 例3. 求满足方程的一切实数x，y的值。

　　 解：设数据的平均数为

　　 方差

　　 当且仅当时，

　　 此时

　　 小结：在构造不等式中，要设法使不等号的一边变成常数和注意等号成立的条件。

　　 常用于解决整数分解型排列、组合的问题。

　 例9. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？

　　 解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：(种)

　　 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。

　 例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？

　　 解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组(1，1，2)，(2，1，1)，(1，2，1)，共有：(种)，第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：(种)。因此共有36种方案。

　　 按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。

　 例7. 已知直线中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

　　 解：设倾斜角为，由为锐角，得，即a，b异号。

　　 (1)若c＝0，a，b各有3种取法，排除2个重复(，，)，故有：3×3－2＝7(条)。

　　 (2)若，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：3×3×4＝36(条)。

　 　从而符合要求的直线共有：7+36＝43(条)

　　 对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。

　 例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有(　　 )

　　 A. 150种　　　　　　　　　　 B. 147种　　　　　　　　　　 C. 144种　　　　　　　　　　 D. 141种

　　 解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：(种)。

　　 对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。

　 例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？

　　 解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。