例1　 求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。

解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A()()，矩形的面积和周长分别是S、L。

，

当且仅当时，，，此时α存在。

2. 求和椭圆有相同离心率且通径(过焦点且垂直于长轴的直线与椭圆所交的线段)长等于5的椭圆方程。

　　 例. 求和椭圆有相同离心率，且与直线相切的椭圆方程。(2003年全国重点名校高考模拟题)

　　 解法1：由以上性质，可设所求椭圆方程为。因其与直线相切，故由方程组，联立消去x，整理得。其判别式，解得，故所求椭圆方程为

　　 解法2：设所求椭圆方程为，即。因它与直线相切，则设切点为(x₁，y₁)，故切线方程为。两直线表示为同一直线，所以，。将x₁和y₁同时代入椭圆方程，得，化简整理得，解得或(舍去)。故所求椭圆方程为

　　 解法3：设所求椭圆方程为，即。则，，，。设切点为()，则椭圆的切线方程为，因为它和直线重合，得，。由等比性质得。故所求椭圆方程是

　　 练一练

1. 求和椭圆有相同离心率且过点(3，9)的椭圆方程。

　　 求证：和椭圆有相同离心率的椭圆方程都具有的特征。

　　 证明：设椭圆和椭圆的离心率分别为e和e'，则，

　　 ，故椭圆和椭圆有相同的离心率。

　　 也就是说，和椭圆有相同的离心率的椭圆方程都具有的特征。

　　　 例9　 设x,y为正数，不等式恒成立，求a的取值范围。

　　　 解：设，则

　　　 由性质，得

　　　 又不等式恒成立

　　　 故有

黑龙江省大庆市66中学(163000)

　　　 例7　 已知m,n,x,y，且，那么mx+ny的最大值为(　　 )

　　　 A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

　　　 C. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

　　　 解：设p=(m,n)，q=(x,y)，则

　　　 由数量积的坐标运算，得

　　　 而

　　　 从而有

　　　 当p与q同向时，mx+ny取最大值，故选(A)。

　　　 例8　 求函数的最大值。

　　　 解：设，则

　　　 由性质，得

　　　 当

　　　 例6　 已知m,n,a,b,c,d，那么p，q的大小关系为(　　 )

　　　 A. 　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　 C. p<q　　　　　　　　　 D. p,q大小不能确定

　　　 解：设，，则

　　　 由性质得

　　　 即，故选(A)

　　　 例1　 已知。

　　　 证明：设m=(1，1)，，则

　　　 由性质，得

　　　 例2　 已知。

　　　 证明：设m=(1，1，1)，n=(x，y，z)，则

　　　 由性质

　　　 例3　 已知a，b，c，求证：。

　　　 证明：设，，

　　　 则

　　　 由性质，得

　　　 例4　 已知a,b为正数，求证：。

　　　 证明：设

　　　 由性质，得

　　　 例5　 设，求证：。

　　　 证明：设m=(a,b)，n=(c,d)，则

　　　 由性质，得

　 例5. 将6个同学平均分成3组有多少种分法？

　　 错解：分法有：(种)

　　 分析：若将6个同学编号，假如分组情况如下：1、2；3、4；5、6。先挑出1、2与后挑出1、2是同一情况，没有先后顺序差别，上面的解法产生了重复。

　　 正解：分法有：(种)

　　 一般地，把不同的元素平均分成几组，就除以几的阶乘。

　　 相关练习：

　　 将5个不同礼品分成3组，则有几种分法？

2. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，不同的分配方案有几种？()