把数化为形是“数形结合”思想。利用图形的直观性化难为易，有事半功倍之效，简洁明快之感。

1. 求函数值域。

例4. 求函数的值域。

解：由图10知函数的值域为。

分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方法是画含有绝对值的函数的图象的有效方法。

例3. 作出下列函数的图象。

(1)；(2)；(3)。

解：(1)

图9就是所要画的函数图象。

(2)

图10就是所要画的函数图象。

(3)

图11就是所要画的函数图象。

　　　　　　　　 图9　　　　　　　　　 图10　　　　　　　　 图11

注：分段函数作图法是画含绝对值函数的图象的常规之法。三点作图法、翻转作图法虽然简便，但要注意适应的题型，第(3)小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一试。

翻转作图法是画函数的图象的一种简捷方法。

步骤是：①先作出的图象；②若的图象不位于x轴下方，则函数的图象就是函数的图象；③若函数的图象有位于x轴下方的，则可把x轴下方的图象绕x轴翻转180°到x轴上方，就得到了函数的图象。

例2. 作出下列各函数的图象。

(1)；(2)；(3)。

解：(1)先作出的图象，如图3，把图3中x轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。

　　　　　　　　　　　　　 图3　　　　　　　　　　 图4

(2)先作出的图象，如图5。把图5中x轴下方的图象翻上去，得到图6。图6就是要画的函数图象。

　　　　　　　　　　　　 图5　　　　　　　　　　 图6

(3)先作出的图象，如图7。把图7中x轴下方的图象翻上去，得到图8。图8就是要画的函数图象。

　　　　　　　　　　　　 图6　　　　　 　　　　图7

三点作图法是画函数的图象的一种简捷方法(该函数图形形状似“V”，故称V型图)。

步骤是：①先画出V型图顶点；

②在顶点两侧各找出一点；

③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数的图象。

例1. 作出下列各函数的图象。

(1)；(2)。

解：(1)顶点，两点(0，0)，(1，0)。其图象如图1所示。

图1

(2)顶点，两点(－1，0)，(0，0)。其图象如图2所示。

图2

注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线对称。

1. 分类讨论。2. 变换主元。3. 数形结合。4. 分离参数。5. 最值性质：(1)恒成立；(2)恒成立；(3)有解；(4)有解。

　 例1. 解关于x的不等式：。

　　 解析：该不等式的基本类型为分式不等式，应通过移项→通分→调整系数→数轴标根等步骤完成，但在调整系数及数轴标根时，涉及到对参数a的分类讨论。分类时，应当根据条件正确制定分类标准，确保所有可能情形都考虑到。做到不重不漏。

　　 (1)当a≠1时，原不等式。

　　 ①当时，解为；

　　 ②当时，解为；

　　 ③当时，解为

　　 ④当时，无解。

　　 (2)当a＝1时，解为。

　 例2. 若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。

　　 解析：已知参数m的取值范围而求未知数x的取值范围，可采用变换主元的策略，原不等式可变形为，当时恒成立。构造以m为自变量的函数，则原问题可等价转化为函数在区间[－2，2]上的函数值恒小于零，从而有，即，

　　 解得。

　 例3. 已知对任意实数x，不等式恒成立。求实数k的取值范围。

　　 解：原不等式两端可视为两个函数与y＝kx，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，问题的解决方法自然产生。如图，只有当直线的斜率k取区间[0，1]上的任一值时，才有恒成立。故实数k的取值范围为。

　 例4. 函数为定义在上的增函数。

　　 若恒成立，求实数m的取值范围。

　　 解：依题意，原不等式

　　 对分离参数m，应用得：

　　 在函数定义域中恒成立，

　　 可得

　　 对分离参数m，应用得：

　　 对一切恒成立

　　 。

　　 可得

　　 由①、②可知，实数m的取值范围为。

［练一练］

　　 求使不等式有解的实数a的取值范围。

　　 答案：。

　　 提示：只需求出的最小值，只要a大于其最小值即可，求出坐标轴上到两点和的最小值。

　 例4　 (1998年高考理)设曲线C的方程是，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C₁

　　 (I)写出曲线C₁的方程；

　　 (II)证明曲线C与C₁关于点对称；

　　 (I)解：曲线C₁的方程为：

　　 (II)证明：在曲线C上任取一点B₁(x₁，y₁)。设B₂(x₂，y₂)是B₁关于点A的对称点，则有：

　　 所以

　　 代入曲线C的方程，得x₂和y₂满足方程：

　　 可知点在曲线C₁上

　　 反过来，同样可以证明，在曲线C₁上的点关于点A的对称点在曲线C上。因此，曲线C与C₁关于点A对称。

　 例5　 (1997年高考文)椭圆C与椭圆C₁：关于直线对称，椭圆C的方程是(　　 )

　　 A. 　　B.

　　 C. 　　D.

　　 解：设(x，y)是椭圆C上任意一点，则其关于直线的对称点可求得为，该点在椭圆C₁上，故其坐标适合椭圆C₁的方程，将其代入有：，化简后知选A。

　　 从以上几个方面的研究可以发现，相关点法是解决数学对称问题的有效方法，因为它抓住了图象对称的基本元素(即图象上点与点之间的一一对应的对称关系)和核心，并且将几何问题代数化的基本数学思想得到很好地体现运用。此外，相关点法在解决几何中才被得以提出并加以运用于解决对称问题，这一点从例4，例5可以感觉到，实际上，函数及三角函数中的对称与解析几何中的对称是相通的，因此，相关点法完全可以加以推广，实行方法共享。

哈尔滨师范大学(150080)

　 例3　 (2003年高考江苏卷)已知函数是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值。

　　 解：由是偶函数，得

　　 即

　　 所以

　　 对任意x都成立，且，所以得

　　 依题设，所以解得，这时

　　 由的图象关于点M对称，可设P(x，y)是其图象上任意一点，P点关于的对称点可求得为：

　　 即有，(*)

　　 取x＝0，得，所以，

　　 所以

　　 所以

　　 当时，上是减函数；

　　 当时，在上是减函数；

　　 当时，上不是单调函数；

　　 所以，综合得

　　 评注：本题是三角函数中含有中心对称问题，抓住对称点之间的中心对称关系，利用中点坐标公式求出对称点(或称相关点)，寻求两相关点(对称点)之间的函数等量关系(见*)是解决问题的关键。

　 例1　 (2001年高考)设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数。

　　 证明：设(x，y)为图象上任意一点，则其关于的对称点可求得：，于是根据函数关系有：，又因为是定义在R上的偶函数，故有：，因此结合上式有：，故由知：是周期函数，。

　 例2　 (1997年高考文)设是定义在R上的函数，则函数与的图象关于(　　 )

　　 A. 直线对称　　 B. 直线对称

　　 C. 直线对称　　 D. 直线对称

　　 解：可设(x₁，y)为上任意一点，则有；

　　 若(x₂，y)为上一点，也有，一般地，由

可知：，所以，即(x₁，y)与(x₂，y)关于直线对称，故选(D)。

　　 评注：例1是一个函数图象本身内在对称问题，例2是两个函数图象之间的对称问题，尽管问题情境不同，但解法有相通之处，均可抓住对称点(即相关点)加以讨论。

3. 函数对称性应用举例

　 例1　 定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是(　　 )

　　 A. 是偶函数，也是周期函数

　　 B. 是偶函数，但不是周期函数

　　 C. 是奇函数，也是周期函数

　　 D. 是奇函数，但不是周期函数

　　 解：因为为偶函数，所以。

　　 所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选(A)。

　 例2　 设定义域为R的函数、都有反函数，并且和的函数图像关于直线对称，若，那么(　　 )

　　 A. 2002　　 B. 2003　　 C. 2004　　 D. 2005

　　 解：因为的函数图像关于直线对称，所以的反函数是，而的反函数是，所以，所以有

　　 故，应选(C)。

　 例3　 设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________

　　 解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；

　　 又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以

　 例4　 函数的图像的一条对称轴的方程是(　　 )

　　 解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选(A)。

　 例5　 设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：_____________

　　 解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以

2. 不同函数对称性的探究

　　 定理4　 函数的图像关于点成中心对称。

　　 证明：设点图像上任一点，则。点关于点的对称点为，此点坐标满足，显然点在的图像上。

　　 同理可证：图像上关于点对称的点也在的图像上。

　　 推论　 函数与的图像关于原点成中心对称。

　　 定理5　 函数与的图像关于直线成轴对称。

　　 证明　 设点是图像上任意一点，则。点关于直线的对称点为，显然点在的图像上。

　　 同理可证：图像上关于直线对称的点也在图像上。

　　 推论　 函数与的图像关于直线y轴对称。

　　 定理6　 ①函数与的图像关于直线成轴对称。

　　 ②函数与的图像关于直线成轴对称。

　　 现证定理6中的②

　　 设点是图像上任一点，则。记点关于直线的对称点，则，所以

代入

之中得。所以点在函数的图像上。

　　 同理可证：函数的图像上任一点关于直线的轴对称点也在函数的图像上。故定理6中的②成立。

　　 推论　 函数的图像与的图像关于直线成轴对称。