例8. 已知P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的左、右焦点若∠PF₁F₂＝α，∠PF₂F₁＝β，求椭圆离心率。

　　 解：△PF₁F₂中，由正弦定理有

　 例7. 已知点P是椭圆上的一点，F₁、F₂是两个焦点，且∠F₁PF₂＝α，求△F₁PF₂的面积S。

　　 解：△PF₁F₂中，由余弦定理，得

　　 所以

　　 故

　 例6. (2002年春季高考题)已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上一个动点，如果延长F₁P到Q，使得，那么动点Q的轨迹是(　　 )

　　 A. 圆　　　　　　　　　 B. 椭圆　　　　　　　　 C. 双曲线一支　　　　　　 D. 抛物线

　　 解：因为，所以

　　 由椭圆第一定义得，故，即Q点轨迹是以F₁为圆心，以2a为半径的圆，选A。

　 例5. (1)(1999年全国联赛题)给定A(-2，2)，已知B是椭圆上动点，F是左焦点，当取最小值时，求B点坐标。

　　 (2)已知椭圆内有一点P(1，-1)，F为椭圆右焦点，M是椭圆上动点，求|MP|+|MF|的最小值。

　　 分析：此题如果按一般求最值的方法先建立目标函数，再求最值，因含有两个根式的和，代入消元不易，难以求解，但如果我们注意数量特征，利用椭圆定义合理转化，则可得到如下简解。

　 　解：(1)显然点A在椭圆内部，由椭圆第二定义可得：B到椭圆左准线l的距离，所以，结合平面几何知识，可知，当AB⊥l时，最小，此时易求B点坐标为(，2)

　　 (2)设椭圆的左焦点为F'，由平面几何知识，得，当且仅当M为线段F'P的延长线与椭圆交点时取等号。

　　 所以

　　 所以的最小值为。

　 例3. (2004年高考·全国卷III)设椭圆的两个焦点是F₁(-c，0)、F₂(c，0)(c>0)，且椭圆上存在点P，使得直线PF₁与直线PF₂垂直，求m的取值范围。

　　 解：由题意知m>0，，，且

　　 ②²－①得：

　　 又

　　 所以，即，所以

　 例4. (1997年全国联赛题)若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是(　　 )

　　 A. (0，1)　　　　　　　　 B. (1，+∞)

　　 C. (0，5)　　　　　　　　 D. (5，+∞)

　　 分析：由已知得

　　 即

　　 依题意，此方程表示椭圆，根据椭圆的第二定义，得，解得m>5，选D。

　 例2. 已知，且满足，试判断点M的轨迹是怎样的曲线。

　　 分析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结构的特点，左边可看成点M到点(2，0)的距离，从而可联想右边可化为点M到直线的距离，即有，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点M的轨迹是椭圆。

　 例1.

　　 分析：常规方法是经过两次平方去根号求解，但运算繁杂，难免不出错。如果联想到椭圆的第一定义，将方程配方后令，得，则点M(x，y)的轨迹是以F₁(-1，0)，F₂(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。

　　 解：由原方程可得

　　 解得

例3 已知cos(α－β)= 都是锐角，求cos(α+β)的值。

解析：由已知条件有

因为0＜sin2α=，

所以0＜2α＜，

所以0＜α＜。　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又因为0＜β＜，

所以＜-β＜0　　　 。　　　　　　　　　　　　 ②

由①、②得＜α-β＜。

又因为cos(α-β)=，

所以。

　　　　　　　 =。

从而cos(α+β)

=cos[2α-(α-β)]

=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)

评析：本例通过0＜sin2α= ，发现了隐含条件：0＜α＜，将α-β的范围缩小为，进而由cos(α-β)= ,将α-β的范围确定为，从而避免了增解。

例4 已知，且tanα,tnaβ是一元二次方程的两个根，求α+β的值。

解析：由已知条件得tanα+tanβ= ，

tanαtanβ=4＞0，

所以tnaα＜0，tanβ＜0。

又因为，

所以

所以-π＜α+β＜0。

又因为tan(α+β)=

　　　　　　　　　　 　 =

所以α+β= 。

评析：本例根据韦达定理tanα+tanβ= ，tanαtanβ=4，挖掘出了隐含条件tanα＜0,tanβ＜0，知，，得出了α+β的确切范围，从而顺利求解。

总之，在处理两角和(差)范围问题时，要注意对题目条件加以研究，特别对隐含条件的挖掘，合理选用公式灵活处理。另外涉及多角和(差)的问题，亦可依照上面做法处理。

合理选用公式，仅对两角和(差)的范围在相邻两个象限时起作用，而对于其它情形，可通过两角和(差)的两个三角公式，来确定两角和(差)的范围。

例2 已知，且α，β都是第二象限角，试确定2α+β，2α-β所在象限。

解析：由条件α，β都是第二象限角，则有

因为2α+β，2α－β都可能落在三个象限，单独使用正(余)弦和差角公式，从值的符号都不能决定2α+β，2α－β的象限，但同时使用正弦、余弦的和差角公式，即可解决。

由cos(2α+β)

=cos2αcosβ－sin2αsinβ

知2α+β在一、四象限。

又sin(2α+β)

=sin2αcosβ+cos2αsinβ

知2α+β在一、二象限。

综上知2α+β在第一象限。

同理可确定2α-β在第三象限。

例1 已知α，β均为锐角， sinα=，求α+β的值。

解析：由已知条件有

cosα=，且0＜α+β＜π。

又cos(α+β)

=cosαcosβ-sinαsinβ

评注：若本题选择正弦的和角公式，会因为一、二象限角的正弦值均为正，而得出两个结果，导致解题失误，这就需要注意公式的合理选用，若将本例改为：设α是锐角，，且，求α+β的值，则选用正弦和角公式合理。

另外，四个象限角的正切值正负相间，故本例亦可选用正切和角公式。