4．完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)；

3．通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；

2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料(如：纸板)制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；

1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；

5．证明两平面平行的方法：

(1)利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。

(2)判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β。

(3)垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β。

(4)平行于同一个平面的两个平面平行。

两个平面平行的性质有五条：

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β。

(2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b。

(3)一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β。

(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等

(5)过平面外一点只有一个平面与已知平面平行

4．直线和平面相互平行

证明方法：1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；2证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

3．注意下面的转化关系：

2．注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化

在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．

1．用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。

题型1：共线、共点和共面问题

例1．(1)如图所示，平面ABD平面BCD ＝直线BD ，M 、N 、P 、Q 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，四边形MNPQ 是以PN 、QM 为腰的梯形。

试证明三直线BD 、MQ 、NP 共点。

证明：∵　四边形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰，

∴直线MQ 、NP 必相交于某一点O 。

∵　O 直线MQ ；直线MQ 平面ABD ，

∴　O 平面ABD。

同理，O 平面BCD ，又两平面ABD 、BCD 的交线为BD ，

故由公理二知，O 直线BD ，从而三直线BD 、MQ 、NP 共点。

点评：由已知条件，直线MQ 、NP 必相交于一点O ，因此，问题转化为求证点O 在直线BD 上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线BD 是这两个平面的交线，同时点O 是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题。

(2)如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线

证明：∵AB∥CD，

∴AB，CD确定一个平面β．

又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，

即E为平面α与β的一个公共点。

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

∴E，F，G，H四点必定共线。

点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论。

例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面。

证明：1^o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，

但AÏd，如图1所示：

∴直线d和A确定一个平面α。

又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，

则A，E，F，G∈α。

∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα。

同理可证bα，cα。

∴a，b，c，d在同一平面α内。

2^o当四条直线中任何三条都不共点时，

如图2所示：

∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α。

设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α。

又 H，K∈c，∴c,则cα。

同理可证dα。

∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内。本题最容易忽视“三线共点”这一种情况。因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义。

题型2：异面直线的判定与应用

例3．已知：如图所示，a b ＝a ，b b ，a b ＝A ，c a ，c ∥a 。求证直线b 、c 为异面直线

证法一：假设b 、c 共面于g ．由A a ，a ∥c 知，A c ，而a b ＝A，a b ＝a ，

∴　 A g ，A a。

又c a ，∴　 g 、a 都经过直线c 及其外的一点A，

∴　 g 与a 重合，于是a g ，又b b。

又g 、b 都经过两相交直线a 、b ，从而g 、b 重合。

∴　 a 、b 、g 为同一平面，这与a b ＝a 矛盾

∴　 b 、c 为异面直线．

证法二：假设b 、c 共面，则b ，c 相交或平行。

(1)若b ∥c ，又a ∥c ，则由公理4知a ∥b ，这与a b ＝A 矛盾。

(2)若b c ＝P ，已知b b ，c a ，则P 是a 、b 的公共点，由公理2，P a ，又b c ＝P ，即P c ，故a c ＝P ，这与a ∥c 矛盾

综合(1)、(2)可知，b 、c 为异面直线。

证法三：∵　 a b ＝a ，a b ＝A ，∴　 A a 。

∵　 a ∥c ，∴　 A c ，

在直线b 上任取一点P(P 异于A)，则P a(否则b a ，又a a ，则a 、b 都经过两相交直线a 、b ，则a 、b 重合，与a b ＝a 矛盾)。

又c a ，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”知，b 、c 为异面直线。

点评：证明两直线为异面直线的思路主要有两条：一是利用反证法；二是利用结论“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．。异面直线又有两条途径：其一是直接假设b 、c 共面而产生矛盾；其二是假设b 、c 平行与相交；分别产生矛盾。判定直线异面，若为解答题，则用得最多的是证法一、二的思路；若为选择或填空题，则往往都是用证法三的思路。用反证法证题，一般可归纳为四个步骤：(1)否定结论；(2)进行推理；(3)导出矛盾；(4)肯定结论．

宜用反证法证明的命题往往是(1)基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题(如立体几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等)；(2)肯定或否定型的命题(如结论中出现“必有”、“必不存在”等一类命题)；(3)唯一型的命题(如“图形唯一”、“方程解唯一”等一类命题)；(4)正面情况较为繁多，而结论的反面却只有一两种情况的一类命题；(5)结论中出现“至多”、“不多于”等一类命题。

例4．(1)已知异面直线a,b所成的角为70，则过空间一定点O，与两条异面直线a,b都成60角的直线有(　 )条

A．1　　　　　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　　　　　　　 D．4

(2)异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O，过点O有3条直线与a,b所成角都是60，则的取值可能是(　 )

A．30　　　　　　 B．50　　　　　　 C．60　　　　　　　 D．90

解析：(1)过空间一点O分别作∥a,∥b。

将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都成60角的直线。故过点 O与a,b都成60角的直线有4条，从而选D。

(2)过点O分别作∥a、∥b，则过点O有三条直线与a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与所成角都为60，其中一条正是角的平分线。从而可得选项为C。

点评：该题以学生对异面直线所成的角会适当转化，较好的考察了空间想象能力

题型3：线线平行的判定与性质

例5．(2009江苏卷)设和为不重合的两个平面，给出下列命题：

(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；

(2)若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；

(3)设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；

(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。

上面命题中，真命题的序号　　　　 (写出所有真命题的序号).

[解析] 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。

真命题的序号是(1)(2)

例6．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。

证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB。

∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，

∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°

∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形

∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，

∴MN∥平面BCE。

证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，

∴

连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴ NH//AF//BE

由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE

∴MN∥平面BCE。

题型4：线面平行的判定与性质

例7．(2009山东卷理)(本小题满分12分)

　　 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,　 AA=2,　 E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。

(1)　　　 证明：直线EE//平面FCC；

(2)　　　 求二面角B-FC-C的余弦值

解法一：(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中点F₁，

连接A₁D，C₁F₁，CF₁，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD为平行四边形，所以CF₁//A₁D，

又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因为平面FCC，平面FCC，

所以直线EE//平面FCC.

(2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC₁⊥平面ABCD,所以CC₁⊥BO,所以OB⊥平面CC₁F,过O在平面CC₁F内作OP⊥C₁F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC₁F中, △OPF∽△CC₁F,∵∴,　　　

在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.

解法二:(1)因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,

所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,

连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DD₁为z轴建立空间直角坐标系,

,则D(0,0,0),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),

C₁(0,2,2),E(,,0),E₁(,-1,1),所以

,,设平面CC₁F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC. 　　　

(2),设平面BFC₁的法向量为,则所以,取,则,

,,　　　

所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为.　　　

[命题立意]:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.

例8．(2008四川 19，理21)

(本小题满分12分)

如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，∥，∥．

(Ⅰ)证明：、、、四点共面；

(Ⅱ)设，求二面角的大小．

解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题．

(Ⅰ)∵面面，

∴面．

∴以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

不妨设，，，则

，，

，，

，．

∴，

，

∴，

∴，

∵，∴，∴C、D、E、F四点共面．

(Ⅱ)设，则，

∴，，．

设平面的法向量为，

由，得，

设平面的法向量为

由，得，

由图知，二面角为锐角，

∴其大小为．

点评：证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处．心浮气燥会在计算、书写、时间上丢分．因建系容易，提倡用向量法．本时耗时要超过17题与18题用时之和．

题型5：面面平行的判定与性质

例9．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为a。证明：平面ACD₁ ∥平面A₁C₁B 。

证明：如图，∵　 A₁BCD₁ 是矩形，A₁B ∥D₁C 。

又D₁C 平面D₁CA ，A₁B 平面D₁CA ，

∴　 A₁B ∥平面D₁CA。

同理A₁C₁ ∥平面D₁CA ，又A₁C₁ A₁B ＝A₁ ，∴　 平面D₁CA ∥平面BA₁C₁ ．

点评：证明面面平行，关键在于证明A₁C₁ 与A₁B 两相交直线分别与平面ACD₁ 平行。

例10．P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心。

(1)求证：平面A′B′C′∥平面ABC；

(2)S_{△A′B′C′}∶S_△ABC的值。

解析：(1)取AB、BC的中点M、N，

则

∴A′C′∥MN?A′C′∥平面ABC。

同理A′B′∥面ABC，

∴△A′B′C′∥面ABC.

(2)A′C′=MN=·AC=AC

，

同理

∴